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数学検定$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 $1$級」より、第$4$章の「応用数理」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。

・数学検定まとめ
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数学検定問題集 1級

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①場合の数

計算技能問題

問題.$1$

問題.$2$

北に$5$回、東に$4$回進む必要があるが、この場合の数は${}_{9} C_{5}$で得られるので下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
{}_{9} C_{5} &= \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
&= 9 \cdot 2 \cdot 7 \\
&= 126
\end{align}
$$

問題.$3$

・$4$つの数字が異なる場合
$$
\large
\begin{align}
{}_{10} C_{4} &= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\
&= 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210
\end{align}
$$

・$2$つが一致し、$3$種類
$$
\large
\begin{align}
3 {}_{10} C_{3} &= 3 \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} \\
&= 10 \cdot 9 \cdot 4 = 360
\end{align}
$$

・$2$つずつ一致し、$2$種類
$$
\large
\begin{align}
{}_{10} C_{2} &= \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} \\
&= 45
\end{align}
$$

・$3$が一致し、$2$種類
$$
\large
\begin{align}
2 \cdot {}_{10} C_{2} &= \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} \\
&= 90
\end{align}
$$

・$4$つの数字が一致し、$1$種類
$$
\large
\begin{align}
{}_{10} C_{1} = 10
\end{align}
$$

よって、場合の数は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
210 + 360 + 45 + 90 + 10 = 715
\end{align}
$$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

②確率

計算技能問題

問題.$1$

・$[1]$
対局数が$3$回である場合はどちらかの$3$連勝の場合であるので確率は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \frac{1}{2} \right)^{3} \times 2 = \frac{1}{4}
\end{align}
$$

対局数が$4$回である場合は$2$勝$1$敗の棋士が$4$戦目で勝利する場合なので、下記のように確率を計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \frac{1}{2} \right)^{4} \times {}_{3} C_{1} \times 2 = \frac{3}{8}
\end{align}
$$

対局数が$5$回である場合は$2$勝$2$敗の棋士が$4$戦目で勝利する場合なので、下記のように確率を計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \frac{1}{2} \right)^{5} \times {}_{4} C_{2} \times 2 = \frac{3}{8}
\end{align}
$$

・$[2]$
$[1]$の結果より、期待値$E[X]$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
E[X] &= 3 \times \frac{1}{4} + 4 \times \frac{3}{8} + 5 \times \frac{3}{8} \\
&= \frac{1}{8}(6+12+15) = \frac{33}{8}
\end{align}
$$

問題.$2$

問題.$3$

・和が$9$になる場合
小さい順に並べた際の目の出方は下記のように列挙できる。
$$
\large
\begin{align}
(1,2,6), (1,3,5), (1,4,4), (2,2,5), (2,3,4), (3,3,3)
\end{align}
$$

上記の$(1,2,6), (1,3,5), (2,3,4)$は$3!=6$通り、$(1,4,4), (2,2,5)$は$3$通り、$(3,3,3)$は$1$通りである。よって確率は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{1}{6^3}(3 \times 6 + 2 \times 3 + 1) = \frac{25}{216}
\end{align}
$$

・和が$10$になる場合
小さい順に並べた際の目の出方は下記のように列挙できる。
$$
\large
\begin{align}
(1,3,6), (1,4,5), (2,2,6), (2,3,5), (2,4,4), (3,3,4)
\end{align}
$$

上記の$(1,3,6), (1,4,5), (2,3,5)$は$3!=6$通り、$(2,2,6), (2,4,4), (3,3,4)$は$3$通りである。よって確率は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{1}{6^3}(3 \times 6 + 3 \times 3) &= \frac{27}{216} \\
&= \frac{1}{8}
\end{align}
$$

問題.$4$

$V[X]=E[X^2]-E[X]^2$の導出であり、下記で取り扱った。

問題.$5$

「$n$回の試行で少なくとも$1$回$2$個とも$6$の目が出る確率」は余事象を考えれば良いので、$\displaystyle 1 – \left( \frac{35}{36} \right)^{n} > \frac{1}{2}$が成立する$n$の最小値を考えれば良い。

式変形を行うと、$\displaystyle \frac{1}{2} > \left( \frac{35}{36} \right)^{n}$である$n$の最小値を見つければ良いので、下記のプログラムを実行すると良い。

for i in range(27):
    print("n: {:.0f}, Prob: {:.3f}".format(i+1,(35./36.)**(i+1)))

・実行結果

n: 1, Prob: 0.972
n: 2, Prob: 0.945
n: 3, Prob: 0.919
n: 4, Prob: 0.893
n: 5, Prob: 0.869
[中略]
n: 22, Prob: 0.538
n: 23, Prob: 0.523
n: 24, Prob: 0.509
n: 25, Prob: 0.494
n: 26, Prob: 0.481
n: 27, Prob: 0.467

よって$n$の最小値は$n=25$である。

数理技能問題

問題.$1$

$3$の目が出る確率を$\displaystyle p = \frac{1}{6}$、回数を確率変数$X$で表すと、$n=360$のように十分大きいことから下記のように中心極限定理に基づく正規近似を考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
X & \sim \mathrm{Bin}(n,p) \\
Z = \frac{X-E[X]}{\sqrt{V[X]}} = \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}} & \sim \mathcal{N}(0,1)
\end{align}
$$

ここで$\displaystyle X=50, n=360, p=\frac{1}{6}$を代入すると、$Z$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
Z &= \frac{\displaystyle 50 – 360 \cdot \frac{1}{6}}{\displaystyle \sqrt{360 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}}} \\
&= \frac{-10}{\sqrt{50}} \\
&= – \sqrt{2}
\end{align}
$$

$X \leq 50$の確率は$Z \leq \sqrt{2}=1.414…$の確率に対応するので、この確率は下記のように計算できる。

import numpy as np
from scipy import stats

print("prob: {:.4f}".format(stats.norm.cdf(-np.sqrt(2))))

実行結果

prob: 0.0786

二項分布の正規近似に関しては下記も合わせて抑えておくと良い。

問題.$2$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
Z = \frac{X-E[X]}{\sqrt{V[X]}} = \frac{X-np}{\sqrt{np(1-p)}} \sim \mathcal{N}(0,1)
\end{align}
$$

二項分布の正規近似より、確率変数$X \sim \mathrm{Bin}(n=1800,p=1/6)$は上記のように表せる。よって$P(290 \leq X \leq 310)$の値は下記のように考えられる。
$$
\large
\begin{align}
P(290 \leq X \leq 310) &= P \left( \frac{290-300}{\sqrt{300 \cdot 5/6}} \leq Z \leq \frac{310-300}{\sqrt{300 \cdot 5/6}} \right) \\
&= P \left( \frac{-10}{5\sqrt{10}} \leq Z \leq \frac{-10}{5\sqrt{10}} \right) \\
&= P(-0.632… \leq Z \leq 0.632…) \\
&= 2P(0 \leq Z \leq 0.632…) \\
&= 0.4726…
\end{align}
$$

・$[2]$
下記を実行することで正の整数$\alpha$に対応する$P(300-\alpha \leq X \leq 300+\alpha)$の確率をそれぞれ計算できる。

import numpy as np
from scipy import stats

for i in range(12):
    alpha = i+1.
    z_c = (alpha)/(5*np.sqrt(10.))
    prob = 2.*(0.5-(1.-stats.norm.cdf(z_c)))
    print("alpha: {:.0f}, prob: {:.3f}".format(alpha,prob))

実行結果

alpha: 1, prob: 0.050
alpha: 2, prob: 0.101
alpha: 3, prob: 0.150
alpha: 4, prob: 0.200
alpha: 5, prob: 0.248
alpha: 6, prob: 0.296
alpha: 7, prob: 0.342
alpha: 8, prob: 0.387
alpha: 9, prob: 0.431
alpha: 10, prob: 0.473
alpha: 11, prob: 0.513
alpha: 12, prob: 0.552

上記より$P(300-\alpha \leq X \leq 300+\alpha)<0.5$が成立する最大の正の整数$\alpha$は$\alpha=10$である。

問題.$3$

問題.$4$

③統計・日程計画

計算技能問題

問題.$1$

平均、標準偏差、相関係数の定義に基づいて、下記を実行することで計算を行うことができる。

import numpy as np

x = np.array([51., 63., 75., 68., 79., 65., 68., 72., 58., 49])
y = np.array([64., 79., 74., 59., 66., 56., 48., 63., 69., 59.])

mean_x, mean_y = np.mean(x), np.mean(y)
S_x2, S_y2 = np.mean(x**2)-mean_x**2, np.mean(y**2)-mean_y**2
r_xy = (np.mean(x*y)-mean_x*mean_y)/np.sqrt(S_x2*S_y2)

print("・[1]")
print("mean X: {:.1f}".format(mean_x))
print("st_X: {:.2f}".format(np.sqrt(S_x2)))
print("・[2]")
print("mean Y: {:.1f}".format(mean_y))
print("st_Y: {:.2f}".format(np.sqrt(S_y2)))
print("・[3]")
print("cor(X,Y): {:.5f}".format(r_xy))

・実行結果

・[1]
mean X: 64.8
st_X: 9.31
・[2]
mean Y: 63.7
st_Y: 8.51
・[3]
cor(X,Y): 0.09134

平均、標準偏差、相関係数の定義や式変形に関しては下記などで詳しく取り扱った。

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

数理技能問題

問題.$1$

$\displaystyle V[\overline{X}] = \frac{180}{\sqrt{100}} = 18$より、母平均の$99$％区間は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\overline{X} \pm z_{\alpha=0.005} V[\overline{X}] &= 1450 \pm 2.58 \times 18 \\
&= 1403.56, 1496.44
\end{align}
$$

問題.$2$

$$
\large
\begin{align}
\hat{y}_i &= ax_i + b \\
a &= \frac{S_{xy}}{S_{x^{2}}} \\
b &= \bar{y} – a \bar{x} \\
S_{xy} &= E[XY]-E[X]E[Y] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_iy_i – \bar{x}\bar{y} \\
S_{x^{2}} &= E[X^2]-E[X]^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} – \bar{x}^2
\end{align}
$$

上記の式に基づいて下記を実行することで計算が行える。

import numpy as np

x = np.array([1., 2., 3., 4., 5., 6., 7.])
y = np.array([316.6, 320., 325.5, 331.1, 338.7, 345.9, 354.1])

s_xy = np.mean(x*y) - np.mean(x)*np.mean(y)
s_x2 = np.mean(x**2) - np.mean(x)**2

a = s_xy/s_x2
b = np.mean(y) - a*np.mean(x)

print(a*11.+b)

実行結果

377.5035...

解答に用いた回帰の式の導出は下記で詳しく取り扱った。

問題.$3$

下記を実行することで得票数を整数で割った際の商が得られる。

import numpy as np

x = np.array([2300, 969, 634, 511, 505])
for i in range(7):
    print("x/{:.0f}: {}".format(i+1,x/(i+1)))

・実行結果

x/1: [2300  969  634  511  505]
x/2: [1150  484  317  255  252]
x/3: [766 323 211 170 168]
x/4: [575 242 158 127 126]
x/5: [460 193 126 102 101]
x/6: [383 161 105  85  84]
x/7: [328 138  90  73  72]

上記より比例代表制ドント方式に基づいて、$A$党が$5$人、$B$党が$2$人、$C, D, E$党がそれぞれ$1$人ずつ当選することが確認できる。

④数値計算

計算技能問題

問題.$1$

問題.$2$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

⑤コンピュータ・電卓

計算技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

数学検定$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 $1$級」より、第$3$章の「解析学」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。

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①極限値

計算技能問題

問題.$1$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
0.333… &= 0.3(1 + 10^{-1} + 10^{-2} + \cdots) \\
&= \frac{0.3}{1-0.1} \\
&= \frac{0.3}{0.9} = \frac{1}{3}
\end{align}
$$

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
0.1666… &= 0.1 + 0.06(1 + 10^{-1} + 10^{-2} + \cdots) \\
&= \frac{1}{10} + \frac{6}{100} \times \frac{1}{1-0.1} \\
&= \frac{1}{10} + \frac{6}{100} \times \frac{10}{9} \\
&= \frac{1}{10} + \frac{2}{10 \cdot 3} \\
&= \frac{\cancel{3+2}}{2 \cdot \cancel{5} \cdot3} = \frac{1}{6}
\end{align}
$$

・$[3]$
$$
\large
\begin{align}
0.037… &= 0.037 (1 + 10^{-3} + 10^{-6} + \cdots) \\
&= \frac{37}{1000} \times \frac{1}{1-10^{-3}} \\
&= \frac{37}{\cancel{1000}} \times \frac{\cancel{1000}}{999} \\
&= \frac{37}{9 \cdot 111} \\
&= \frac{\cancel{37}}{9 \cdot 3 \cdot \cancel{37}} \\
&= \frac{1}{27}
\end{align}
$$

問題.$2$

$$
\large
\begin{align}
a_1 = 1, \quad a_{k+1} = 1 + \frac{3}{4}a_{k}, \qquad k=1,2,3, \cdots
\end{align}
$$

特性方程式$\displaystyle \alpha = 1+\frac{3}{4}\alpha$の解が$\alpha=4$であることより二項間漸化式は下記のように変形を行える。
$$
\large
\begin{align}
a_{k+1} &= 1 + \frac{3}{4}a_{k} \\
a_{k+1}-4 &= \frac{3}{4}(a_{k}-4)
\end{align}
$$

上記より数列${a_{k}-4}$は初項$a_1-4=1-4=-3$、公比$\displaystyle \frac{3}{4}$の等比数列であることが読み取れる。よって$a_{k}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
a_{k} – 4 &= (a_1-4) \left( \frac{3}{4} \right)^{k-1} \\
a_{k} &= 4 – 3 \left( \frac{3}{4} \right)^{k-1}
\end{align}
$$

したがって、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{n}$の極限値は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} a_{n} &= \lim_{n \to \infty} \left[ 4 – 3 \left( \frac{3}{4} \right)^{k-1} \right] \\
&= 4
\end{align}
$$

問題.$3$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 2} \frac{x^2+2x-8}{x^2-5x+6} &= \lim_{x \to 2} \frac{(x+4)\cancel{(x-2)}}{\cancel{(x-2)}(x-3)} \\
&= \lim_{x \to 2} \frac{(x+4)}{(x-3)} \\
&= \frac{2+4}{2-3} = -6
\end{align}
$$

$[$別解$]$
ロピタルの定理を用いて下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 2} \frac{x^2+2x-8}{x^2-5x+6} &= \lim_{x \to 2} \frac{2x+2}{2x-5} \\
&= \frac{2 \cdot 2 + 2}{2 \cdot 2 – 5} = -6
\end{align}
$$

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2}{x}}{1-\cos{x}} &= \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos^{2}{x}}{1-\cos{x}} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{(1+\cos{x})\cancel{(1-\cos{x})}}{\cancel{1-\cos{x}}} \\
&= \lim_{x \to 0} (1+\cos{x}) = 1+1 = 2
\end{align}
$$

$[$別解$]$
ロピタルの定理を用いて下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2}{x}}{1-\cos{x}} &= \lim_{x \to 0} \frac{2 \cancel{\sin{x}} \cos{x}}{\cancel{\sin{x}}} \\
&= 2 \cos{x} = 2
\end{align}
$$

・$[3]$
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to \infty} (3x – \sqrt{9x^2-3x-1}) &= \lim_{x \to 0} \frac{(3x – \sqrt{9x^2-3x-1})(3x + \sqrt{9x^2-3x-1})}{3x + \sqrt{9x^2-3x-1}} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{9x^2 – (9x^2-3x-1)}{3x + \sqrt{9x^2-3x-1}} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{3x+1}{3x + \sqrt{9x^2-3x-1}} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{3+1/x}{3 + \sqrt{9-3/x-1/x^2}} \\
&= \frac{3}{3+3} = \frac{1}{2}
\end{align}
$$

問題.$4$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

問題.$5$

問題.$6$

②微分法・不等式

計算技能問題

問題.$1$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\left( \frac{x}{x^2+1} \right)’ &= \frac{x'(x^2+1)-x(x^2+1)’}{(x^2+1)^2} \\
&= \frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2} \\
&= \frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}
\end{align}
$$

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
((\log_{2}{x})^2)’ &= \left( \frac{(\log_{e}{x})^2}{(\log_{e}{2})^2} \right)’ \\
&= \frac{2 \log_{e}{x} (\log_{e}{x})’}{(\log_{e}{2})^2} \\
&= \frac{2 \log_{e}{x}}{x(\log_{e}{2})^2}
\end{align}
$$

上記を下記のように変形すると、問題集の解答と一致する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{2 \log_{e}{x}}{x(\log_{e}{2})^2} &= \frac{2 \log_{2}{x}}{x \log_{2}{e}} \times (\log_{2}{e})^2 \\
&= 2 \log_{2}{e} \cdot \frac{\log_{2}{x}}{x}
\end{align}
$$

・$[3]$
$$
\large
\begin{align}
( \log_{e}{(\log_{e}{x})} )’ &= \frac{(\log_{e}{x})’}{\log_{e}{x}} \\
&= \frac{1}{x \log_{e}{x}}
\end{align}
$$

問題.$2$

問題.$3$

$$
\large
\begin{align}
f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{align}
$$

上記で表した微分係数$f'(a)$の定義に基づいて以下変形を行う。
・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{f(a)-f(a+h)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{-(f(a+h)-f(a))}{h} \\
&= -f'(a)
\end{align}
$$

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h} &= \frac{f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-h)}{h} \\
&= \frac{f(a+h)-f(a)}{h} + \frac{f(a)-f(a-h)}{h}
\end{align}
$$

ここで$t=-h$とおくと$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h}$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{f(a)-f(a-h)}{h} &= \lim_{t \to 0} \frac{f(a)-f(a+t)}{-t} \\
&= \lim_{t \to 0} \frac{f(a+t)-f(a)}{t} = f'(a)
\end{align}
$$

よって下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a-h)}{h} &= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-h)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} + \lim_{t \to 0} \frac{f(a+t)-f(a)}{t} \\
&= f'(a) + f'(a) = 2f'(a)
\end{align}
$$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

③最大・最小問題

計算技能問題

問題.$1$

切り取る正方形の辺の長さを$a$、箱の体積を$V(a)$とおくと、$V(a)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
V(a) &= (12-2a)^{2} \times a \\
&= 4a(6-a)^{2}
\end{align}
$$

ここで$V(a)$の$a$での微分は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dV(a)}{da} &= 4(6-a)^{2} + 4a \times 2(6-a) \times (-1) \\
&= 4(6-a)^{2} – 8a(6-a) \\
&= 4(6-a)[ (6-a) – 2a ] \\
&= 4(6-a)(6-3a) \\
&= 12(a-6)(a-2)
\end{align}
$$

上記より$a=2$のとき$V(a)$は最大値を取ることが確認でき、このときの値$V(a)$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
V(2) &= 4 \times 2 \times (6-2)^{2} \\
&= 128
\end{align}
$$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

問題.$5$

数理技能問題

問題.$1$

$$
\large
\begin{align}
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
\end{align}
$$

上記で表される楕円上の点は$(a \cos{\theta}, b \sin{\theta})$のように表せる。内接する長方形を考えるにあたっては楕円上の$1$つの点を考えると、$x=0,y=0$にそれぞれ対称な点と原点に対称な点を考えることで$4$点が自動的に決まる。

ここで第$1$象限の点を$\displaystyle (a \cos{\theta}, b \sin{\theta}), \quad 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$で定めると長方形の面積$S(\theta)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
S(\theta) &= 2 a \cos{\theta} \times 2 b \sin{\theta} \\
&= 4ab \sin{\theta} \cos{\theta} \\
&= 2ab\sin{(2 \theta)}
\end{align}
$$

$\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}$より、$S(\theta)$は$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}$のとき最大値$2ab$をとる。

したがって楕円に内接する長方形の最大面積は$2ab$である。

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

問題.$5$

④テイラー展開

計算技能問題

問題.$1$

問題.$2$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

⑤積分法

計算技能問題

問題.$1$

・$[1]$
$x’=1$であることに着目して部分積分法を用いることで下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int (\log{x})^{2} dx &= x (\log{x})^{2} – \int \cancel{x} \cdot 2(\log{x}) \cdot \frac{1}{\cancel{x}} dx \\
&= x (\log{x})^{2} – 2x \log{x} + 2 \int \cancel{x} \cdot \frac{1}{\cancel{x}} dx \\
&= x (\log{x})^{2} – 2x \log{x} + 2x + C
\end{align}
$$

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\sin^{2}{x} + \cos^{2}{x} &= 1 \\
\frac{\sin^{2}{x}}{\cos^{2}{x}} + 1 &= \frac{1}{\cos^{2}{x}} \\
\tan^{2}{x} + 1 &= \frac{1}{\cos^{2}{x}}
\end{align}
$$

上記の式と$\displaystyle (\tan{x})’ = \frac{1}{\cos^{2}{x}}$より、下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int \tan^{2}{x} dx &= \int \left( \frac{1}{\cos^{2}{x}} – 1 \right) dx \\
&= \int ((\tan{x})’ – 1 ) dx \\
&= \tan{x} – x + C
\end{align}
$$

・$[3]$
部分積分法に基づいて下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\int x \sin{x} dx &= -x \cos{x} + \int \cos{x} dx \\
&= -x \cos{x} + \sin{x} + C
\end{align}
$$

問題.$2$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

⑥積分の応用

計算技能問題

問題.$1$

・$[1]$
$x-\sqrt{x}=0$の解は$\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)=0$より、$x=0,1$である。ここで$0 \leq x \leq 1$では$x-\sqrt{x}<0$であるので、面積$S$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
S &= \int_{0}^{1} |x-\sqrt{x}| dx \\
&= \int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{2}} – x) dx \\
&= \left[ \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} – \frac{1}{2}x^{2} \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{2}{3} – \frac{1}{2} \\
&= \frac{1}{6}
\end{align}
$$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

問題.$5$

数学検定$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 $1$級」より、第$2$章の「線形代数」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。

・数学検定まとめ
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数学検定問題集 1級

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①ベクトル・$3$次元図形

計算技能問題

問題.$1$

$$
\large
\begin{align}
\mathbf{e}_{1} &= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), \quad \mathbf{e}_{2} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \quad \mathbf{e}_{3} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \\
\mathbf{a} &= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}, \mathbf{a}, \alpha, \beta, \gamma$に関して下記の式が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{e}_{1} \cdot \mathbf{a} &= |\mathbf{e}_{1}| |\mathbf{a}| \cos{\alpha} \\
\mathbf{e}_{2} \cdot \mathbf{a} &= |\mathbf{e}_{2}| |\mathbf{a}| \cos{\beta} \\
\mathbf{e}_{3} \cdot \mathbf{a} &= |\mathbf{e}_{3}| |\mathbf{a}| \cos{\gamma}
\end{align}
$$

よって$\cos{\alpha}, \cos{\beta}, \cos{\gamma}$はそれぞれ下記のように計算できる。
・$\cos{\alpha}$
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{e}_{1} \cdot \mathbf{a} &= |\mathbf{e}_{1}| |\mathbf{a}| \cos{\alpha} \\
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \cos{\alpha} \\
\cos{\alpha} &= \frac{1}{\sqrt{14}}
\end{align}
$$

・$\cos{\beta}$
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{e}_{2} \cdot \mathbf{a} &= |\mathbf{e}_{2}| |\mathbf{a}| \cos{\alpha} \\
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \cos{\beta} \\
\cos{\beta} &= \frac{2}{\sqrt{14}}
\end{align}
$$

・$\cos{\gamma}$
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{e}_{3} \cdot \mathbf{a} &= |\mathbf{e}_{3}| |\mathbf{a}| \cos{\alpha} \\
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \cos{\gamma} \\
\cos{\gamma} &= \frac{3}{\sqrt{14}}
\end{align}
$$

問題.$2$

$$
\large
\begin{align}
\mathbf{a} &= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \\
\mathbf{b} &= \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

ベクトル$\mathbf{a}, \mathbf{b}$のなす角を$\theta$とおくとき、下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos{\theta} \\
\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) &= \sqrt{2^2+1^2+3^2} \times \sqrt{3^2+(-2)^2+1^2} \cos{\theta} \\
6-2+3 &= 14 \cos{\theta} \\
\cos{\theta} &= \frac{7}{14} \\
&= \frac{1}{2} \\
\theta &= \frac{\pi}{3}
\end{align}
$$

よってベクトル$\mathbf{a}, \mathbf{b}$のなす角は$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$である。

問題.$3$

問題.$4$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

問題.$5$

問題.$6$

②行列・$1$次変換

計算技能問題

問題.$1$

$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{array} \right), \quad B = \left( \begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

・$[1]$
$A+B=X$より、$X$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
X &= A + B \\
&= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} 6 & 4 \\ 0 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

・$[2]$
$3X-A=X-2B$より、$X$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
3X – A &= X – 2B \\
2X &= A – 2B \\
X &= \frac{1}{2} (A – 2B) \\
&= \frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 1-10 & 2-4 \\ -3-6 & 4+2 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \displaystyle -\frac{9}{2} & -1 \\ \displaystyle -\frac{9}{2} & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

問題.$2$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\left( A \, \middle| \, I \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記に対し、行基本変形を行うことで下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -2 & -4 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -4 \\ -1 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -4 \\ -1/2 & 1/2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -4 \\ -1/2 & 1/2 & 2 \\ 1/2 & -1/2 & -1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 1/2 & -1/2 & -1 \\ -1/2 & 1/2 & 2 \\ 1/2 & -1/2 & -1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記より下記のような逆行列$A^{-1}$が得られる。
$$
\large
\begin{align}
A^{-1} = \frac{1}{2} \left(\begin{array}{ccc} 1 & -1 & -2 \\ -1 & 1 & 4 \\ 1 & -1 & -2 \end{array} \right)
\end{align}
$$

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\left( A \, \middle| \, I \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 1/3 & 1/4 & 1/5 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記に対し、行基本変形を行うことで下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 1/3 & 1/4 & 1/5 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 1 & 2/3 & 1/2 \\ 1 & 3/4 & 3/5 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 0 & 1/6 & 1/6 \\ 0 & 1/4 & 4/15 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 6 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 15 & 16 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 6 & 0 & 0 \\ -6 & 12 & 0 \\ -60 & 0 & 180 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 6 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 24 & -36 & 0 \\ -6 & 12 & 0 \\ 30 & -180 & 180 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 54 & -216 & 180 \\ -36 & 192 & -180 \\ 30 & -180 & 180 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 9 & -36 & 30 \\ -36 & 192 & -180 \\ 30 & -180 & 180 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記より下記のような逆行列$A^{-1}$が得られる。
$$
\large
\begin{align}
A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 9 & -36 & 30 \\ -36 & 192 & -180 \\ 30 & -180 & 180 \end{array} \right)
\end{align}
$$

・解説
行基本変形を用いた逆行列の取得の手順については下記で詳しく取り扱った。

問題.$3$

問題.$4$

ベクトルを$\theta$だけ回転させる回転行列を$R(\theta)$とおくと$R(\theta)$は下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
R(\theta) = \left( \begin{array}{cc} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記に基づいて$R(\alpha+\beta) = R(\alpha)R(\beta)$は下記のような式で表せる。
$$
\large
\begin{align}
R(\alpha+\beta) &= R(\alpha)R(\beta) \\
\left( \begin{array}{cc} \cos{(\alpha+\beta)} & -\sin{(\alpha+\beta)} \\ \sin{(\alpha+\beta)} & \cos{(\alpha+\beta)} \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{cc} \cos{\alpha} & -\sin{\alpha} \\ \sin{\alpha} & \cos{\alpha} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \cos{\beta} & -\sin{\beta} \\ \sin{\beta} & \cos{\beta} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} & -(\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}) \\ \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} & \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記より下記のような加法定理の式が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\sin{(\alpha+\beta)} &= \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \\
\cos{(\alpha+\beta)} &= cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}
\end{align}
$$

数理技能問題

問題.$1$

$$
\large
\begin{align}
A^{-1} = \left( \begin{array}{cc} x & y \\ u & v \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記のように逆行列$A^{-1}$を表すと$AA^{-1}=I_{2}$より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
AA^{-1} &= I_{2} \\
\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} x & y \\ u & v \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{cc} ax+bu & ay+bv \\ cx+du & cy+dv \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \quad (1)
\end{align}
$$

上記の$(1,1)$成分の対応に$d$をかけると$adx+bdu=d$が得られる。次にに$(2,1)$成分の対応に$b$をかけると$bcx+bdu=0$が得られる。この二つの式より、$(ad-bc)x=d$が得られる。
同様に$(1,2)$成分の式に$d$、$(2,2)$成分の式に$b$をかけた式より$(ad-bc)y=-b$が得られる。

・$[1]$
$\Delta = ad-bc \neq 0$のとき下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
x=\frac{d}{\Delta}, \, y=-\frac{b}{\Delta}, \, u=-\frac{c}{\Delta}, \, v=\frac{d}{\Delta}
\end{align}
$$

上記より下記の逆行列の式が得られる。
$$
\large
\begin{align}
A^{-1} = \frac{1}{\Delta} \left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & d \end{array} \right)
\end{align}
$$

・$[2]$
$\Delta=0$のとき$(ad-bc)x = \Delta x = d$より$d=0$、$(ad-bc)y = \Delta y = -b$より$b=0$が得られる。ここで$A^{-1}$が存在すると仮定すると$A^{-1}A$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
A^{-1}A &= \left( \begin{array}{cc} x & y \\ u & v \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} xa+yc & xb+yd \\ ua+vc & ub+vd \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記は単位行列に一致するので$ub+vd=1$が成立せねばならないが$b=d=0$よりこの式が成立しない。よって$A^{-1}$は存在しない。

問題.$2$

$X^{4}-X^{3}+4X^{2}-6X+I$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
X^{4}-X^{3}+4X^{2}-6X+I &= (X^{2}-2X+I)(X^{2}+X+5) + 3X-4I
\end{align}
$$

ここで$X^{2}-2X+I=O$であるので下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
X^{4}-X^{3}+4X^{2}-6X+I = 3X-4I
\end{align}
$$

問題.$3$

問題.$4$

問題.$5$

③行列式

計算技能問題

問題.$1$

下記のように行列式の計算を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 1/2 & 1/3 & 1/4 \\ 1/3 & 1/4 & 1/5 \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1/2 & 1/3 \\ 0 & 1/12 & 1/12 \\ 0 & 1/12 & 4/45 \end{array} \right) \\
&= (-1)^{1+1} \left( \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{1}{12} & \displaystyle \frac{1}{12} \\ \displaystyle \frac{1}{12} & \displaystyle \frac{4}{45} \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{12} \cdot \frac{4}{45} – \frac{1}{12} \cdot \frac{1}{12} \\
&= \frac{1}{12} \left( \frac{4}{3^{2} \cdot 5} – \frac{1}{2^{2} \cdot 3} \right) \\
&= \frac{1}{12} \cdot \frac{16-15}{2^{2} \cdot 3^{2} \cdot 5} \\
&= \frac{1}{2^{4} \cdot 3^{3} \cdot 5} = \frac{1}{2160}
\end{align}
$$

問題.$2$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \, A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記に対し、行列式$|A|, |A^{-1}|$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
|A| &= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 1 \\
A^{-1} &= \left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| = 0
\end{align}
$$

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \end{array} \right) \, A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} 1/5 & 1 & -1/5 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1/5 & 0 & -1/5 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記に対し、行列式$|A|, |A^{-1}|$は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
|A| &= \left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 5 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right| \\
&= (-1)^{2+1} \left| \begin{array}{cc} 1 & 5 \\ 1 & 0 \end{array} \right| = (-1) \cdot (-5) = 5 \\
A^{-1} &= \left| \begin{array}{ccc} 1/5 & 1 & -1/5 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1/5 & 0 & -1/5 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1/5 & 0 & -1/5 \end{array} \right| \\
&= (-1)^{3+1} \cdot \frac{1}{5} \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{array} \right| = \frac{1}{5}
\end{align}
$$

・解説
$[1], [2]$では$\displaystyle |A| = \frac{1}{|A^{-1}|}$が成立していることも合わせて抑えておくと良いです。

問題.$3$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

④固有値問題

計算技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

数学検定$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 $1$級」より、第$1$章の「準1級までの復習」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。

・数学検定まとめ
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数学検定問題集 1級

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①初等代数学

計算技能問題

問題.$1$

問題.$2$

$f(x)$を$(2x+3)$で割った商を$Q(x)$とおくと$f(x)=(2x+3)Q(x)+6$と表せる。このとき、$(3x+7)f(x)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
(3x+7)f(x) &= (3x+7)((2x+3)Q(x)+6) \\
&= (3x+7)(2x+3)Q(x) + 6(3x+7) \\
&= (2x+3)((3x+7)Q(x) + 9) + 15
\end{align}
$$

上記より、$(3x+7)f(x)$を$(2x+3)$で割った余りは$15$であることがわかる。

問題.$3$

下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
& a \left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) + b \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \right) + c \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \right) \\
&= \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} \\
&= \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} + \frac{a+b}{c} + 3 – 3 \\
&= \frac{a+b+c}{a} + \frac{a+b+c}{b} + \frac{a+b+c}{c} – 3 \\
&= 0 – 3 = -3
\end{align}
$$

問題.$4$

問題.$5$

下記のように計算を行える。
$$
\large
\begin{align}
\sum_{k=3}^{15} (k+3)(k-2) &= \sum_{k=1}^{15} (k^2+k-6) – ((1+3) \cdot (1-2) + (2+3) \cdot (2-2)) \\
&= \frac{15 \cdot 16 \cdot 31}{6} + 4 \\
&= 5 \cdot 8 \cdot 31 + 4 \\
&= 1270 + 4 \\
&= 1274
\end{align}
$$

問題.$6$

下記のように計算を行える。
$$
\large
\begin{align}
\sum_{k=5}^{20} k^{2} &= \sum_{k=1}^{20} k^{2} – \sum_{k=1}^{4} k^{2} \\
&= \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} – \frac{4 \cdot 5 \cdot 9}{6} \\
&= 10 \cdot 7 \cdot 41 – 2 \cdot 5 \cdot 3 \\
&= 10(287-3) \\
&= 2840
\end{align}
$$

問題.$7$

$z=x+yi, \bar{z}=x-yi$のとき、$z^2=\bar{z}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
z^2 &= \bar{z} \\
(x+yi)^2 &= x-yi \\
x^2 + 2xyi + y^2i^2 &= x-yi \\
x^2 + 2xyi – y^2 &= x-yi \\
(x^2-y^2-x) + y(2x+1)i &= 0
\end{align}
$$

ここで上記より$x^2-y^2-x=0, y(2x+1)=0$が得られるので、以下では$\displaystyle y=0, x=-\frac{1}{2}$を$x^2-y^2-x=0$に代入し、$x, y$の値を求める。

i) $y=0$のとき
$$
\large
\begin{align}
x^2 – y^2 – x &= 0 \\
x(x-1) &= 0
\end{align}
$$

よって$x=0,1$

ⅱ) $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$のとき
$$
\large
\begin{align}
x^2 – y^2 – x &= 0 \\
\frac{1}{4} – y^2 + \frac{1}{2} &= 0 \\
y^2 &= \frac{3}{4}
\end{align}
$$

よって$\displaystyle y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

i)、ⅱ)より、$\displaystyle z = 0, 1, \frac{-1 \pm \sqrt{3}}{2}$が得られる。

数理技能問題

問題.$1$

$$
\large
\begin{align}
s_1 &= x + y + z \\
s_2 &= xy + yz + zx \\
s_3 &= xyz
\end{align}
$$

上記で表した基本対称式を元に対称式$x^4+y^4+z^4$を表すことを考える。$(x^2+y^2+z^2)^2=x^4+y^4+z^4+2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)$より$x^4+y^4+z^4$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
(x^2+y^2+z^2)^2 &= x^4+y^4+z^4+2xyz(x+y+z) \\
x^4+y^4+z^4 &= (x^2+y^2+z^2)^2 – 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) \quad (1)
\end{align}
$$

ここで、$(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$より$x^2+y^2+z^2$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
x^2+y^2+z^2 &= (x+y+z)^2 – 2(xy+yz+zx) \\
&= s_1^2 – 2s_2
\end{align}
$$

また、$(xy+yz+zx)^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)$より$x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2 &= (xy+yz+zx)^2 – 2xyz(x+y+z) \\
&= s_2^2 – 2s_3s_1
\end{align}
$$

よって$(1)$式は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
x^4+y^4+z^4 &= (x^2+y^2+z^2)^2 – 2(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) \quad (1) \\
&= ((x+y+z)^2 – 2(xy+yz+zx))^2 – 2 ((xy+yz+zx)^2 – 2xyz(x+y+z)) \\
&= (s_1^2 – 2s_2)^2 – 2(s_2^2 – 2s_3s_1) \\
&= s_1^4 + 4s_2^2 – 4s_1^2s_2 – 2s_2^2 + 4s_1s_3 \\
&= s_1^4 – 4s_1^2s_2 + 2s_2^2 + 4s_1s_3
\end{align}
$$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

問題.$5$

②いろいろな関数

計算技能問題

問題.$1$

$[1]$
$$
\large
\begin{align}
5 \times 10^{7} \mathrm{mm} = 50 \mathrm{km}
\end{align}
$$

$[2]$
$$
\large
\begin{align}
3 \times 10^{-3} \mathrm{kg} = 3 \mathrm{g}
\end{align}
$$

$[3]$
$$
\large
\begin{align}
6 \times 10^{-5} \mathrm{km} = 60 \mathrm{mm}
\end{align}
$$

問題.$2$

$\log_{10} 3^{24}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\log_{10}{3^{24}} &= 24 \log_{10}{3} \\
&= 24 \times 0.4771 \\
&= 11.4504
\end{align}
$$

上記より$10^{11} < 3^{24} < 10^{12}$なので$3^{24}$は$12$桁の数である。

問題.$3$

$\displaystyle \sin{\theta}+\cos{\theta} = \frac{1}{2}$に基づいて下記のような計算を行える。
$$
\large
\begin{align}
(\sin{\theta}+\cos{\theta})^2 &= \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \\
\sin^{2}{\theta} + \cos^{2}{\theta} 2 \sin{\theta} \cdot \cos{\theta} &= \frac{1}{4} \\
1 + 2 \sin{\theta} \cdot \cos{\theta} &= \frac{1}{4} \\
2 \sin{\theta} \cdot \cos{\theta} &= -\frac{3}{4} \\
\sin{\theta} \cdot \cos{\theta} &= – \frac{3}{8}
\end{align}
$$

問題.$4$

下記のように計算を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\sin{75^{\circ}} &= \sin{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \right)} \\
&= \sin{\frac{\pi}{4}}\cos{\frac{\pi}{6}} + \cos{\frac{\pi}{4}}\sin{\frac{\pi}{6}} \\
&= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} \\
&= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} \\
&= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{align}
$$

問題.$5$

$\sin{\theta}$は$\displaystyle t = \tan{\frac{\theta}{2}}$を用いて下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\sin{\theta} &= 2 \sin{\frac{\theta}{2}} \cos{\frac{\theta}{2}} \\
&= 2 \tan{\frac{\theta}{2}} \cos^{2}{\frac{\theta}{2}} \\
&= 2 t \cdot \frac{1}{\displaystyle 1 + \tan^{2}{\frac{\theta}{2}}} \\
&= \frac{2t}{1+t^2}
\end{align}
$$

$\cos{\theta}$は$\displaystyle t = \tan{\frac{\theta}{2}}$を用いて下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\cos{\theta} &= 2 \cos^{2}{\frac{\theta}{2}} – 1 \\
&= \frac{2}{\displaystyle 1 + \tan^{2}{\frac{\theta}{2}}} – 1 \\
&= \frac{2}{1+t^2} – 1 \\
&= \frac{2-(1+t^2)}{1+t^2} \\
&= \frac{1-t^2}{1+t^2}
\end{align}
$$

$\tan{\theta}$は$\displaystyle t = \tan{\frac{\theta}{2}}$を用いて下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\tan{\theta} &= \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}} \\
&= \frac{2t}{\cancel{1+t^2}} \times \frac{\cancel{1+t^2}}{1-t^2} \\
&= \frac{2t}{1-t^2}
\end{align}
$$

数理技能問題

問題.$1$

下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
100 &= x^5 \\
x &= 100^{\frac{1}{5}} \\
&= 2.51…
\end{align}
$$

問題.$2$

$e$を底とする場合の底の変換公式と$243=3^5, 343=7^3$より、$\log_{2}{3} \cdot \log_{7}{8} \cdot \log_{243}{343}$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\log_{2}{3} \cdot \log_{7}{8} \cdot \log_{243}{343} &= \frac{\log{3}}{\log{2}} \cdot \frac{\log{8}}{\log{7}} \cdot \frac{\log{343}}{\log{243}} \\
&= \frac{\log{3}}{\log{2}} \cdot \frac{\log{2^3}}{\log{7}} \cdot \frac{\log{7^3}}{\log{3^5}} \\
&= \frac{\log{3}}{\log{2}} \cdot \frac{3\log{2}}{\log{7}} \cdot \frac{3\log{7}}{5\log{3}} \\
&= \frac{9}{5} \frac{\cancel{\log{3}}}{\cancel{\log{2}}} \cdot \frac{\cancel{\log{2}}}{\cancel{\log{7}}} \cdot \frac{\cancel{\log{7}}}{\cancel{\log{3}}} \\
&= \frac{9}{5}
\end{align}
$$

問題.$3$

③いろいろな曲線

計算技能問題

問題.$1$

$\displaystyle x = a \cosh{t} = \frac{a(e^{t}+e^{-t})}{2}, x = b \sinh{t} = \frac{b(e^{t}-e^{-t})}{2}$とおくとき$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2}=1$が成立することを以下確認を行う。
$$
\large
\begin{align}
\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} &= \frac{\cancel{a^2} \cosh^{2}{t}}{\cancel{a^2}} – \frac{\cancel{b^2} \sinh^{2}{t}}{\cancel{b^2}} \\
&= \cosh^{2}{t} – \sinh^2{t} \\
&= \frac{(e^{t}+e^{-t})^2}{2^2} – \frac{(e^{t}-e^{-t})^2}{2^2} \\
&= \frac{e^{2t}+e^{-2t}+2}{2^2} – \frac{e^{2t}+e^{-2t}-2}{2^2} \\
&= 1
\end{align}
$$

したがって、$\displaystyle x = a \cosh{t} = \frac{a(e^{t}+e^{-t})}{2}, x = b \sinh{t} = \frac{b(e^{t}-e^{-t})}{2}$は双曲線の標準形の方程式$\displaystyle \frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2}=1$の媒介変数表示であると考えられる。

問題.$2$

問題.$3$

$x^2-2ax+y^2=0$に$x = r \cos{\theta}, y = r \sin{\theta}$を代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
x^2 – 2ax + y^2 &= 0 \\
r^2 \cos^2{\theta} – 2a r \cos{\theta} + r^2 \sin^2{\theta} &= 0 \\
r^2(\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}) &= 2a r \cos{\theta} \\
r^2 &= 2a r \cos{\theta} \\
r &= 2a \cos{\theta}
\end{align}
$$

・考察
$x^2-2ax+y^2=0, \, a>0$は$(x-a)^2+y^2=a^2$のように変形できるので、中心$(a,0)$、半径$a$の円の方程式を表す。この変換は重積分に対して変数変換を行う際などに応用されるので、合わせて抑えておくと良い。

問題.$4$

数理技能問題

問題.$1$

問題.$2$

問題.$3$

問題.$4$

問題.$5$