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当記事は「数理統計学(共立出版)」の読解サポートにあたってChapter.$1$の「データの整理」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。

・解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math_stat#green

数理統計学: 統計的推論の基礎

黒木 学

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章末の演習問題について

問題1.1の解答例

第$1$標本四分位数 $\, \leq \,$ 標本平均 $\, \leq \,$ 第$3$標本四分位数 $\quad (1)$

・$[1]$
$n=3$のときは第$1$標本四分位数が$x_1$、第$3$標本四分位数が$x_3$である。標本平均は$x_1$以上かつ$x_3$以下であるので、$(1)$式が成立する。

$n=4$のときは第$1$標本四分位数が$\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}$、第$3$標本四分位数が$\displaystyle \frac{x_3+x_4}{2}$である。よって「標本平均ー第$1$標本四分位数」は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} – \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{1}{4}(-x_1-x_2+x_3+x_4) \geq 0
\end{align}
$$

同様に「第$3$標本四分位数ー標本平均」は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{x_3+x_4}{2} – \frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4} = \frac{1}{4}(-x_1-x_2+x_3+x_4) \geq 0
\end{align}
$$

したがって$n=4$のとき$(1)$式が成立する。

$n=5$のときは第$1$標本四分位数が$\displaystyle \frac{x_1+x_2}{2}$、第$3$標本四分位数が$\displaystyle \frac{x_4+x_5}{2}$である。よって「標本平均ー第$1$標本四分位数」は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} – \frac{x_1+x_2}{2} = \frac{1}{10}(-3x_1-3x_2+2x_3+2x_4+2x_5) \geq 0
\end{align}
$$

同様に「第$3$標本四分位数ー標本平均」は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{x_4+x_5}{2} – \frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5} = \frac{1}{10}(-2x_1-2x_2-2x_3+3x_4+3x_5) \geq 0
\end{align}
$$

したがって$n=5$のとき$(1)$式が成立する。

・$[2]$
$n=6$のとき、第$1$標本四分位数が$x_2$、第$3$標本四分位数が$x_5$である。よって、$1,1,1,1,1,100$のように$x_6$の値だけを大きく設定することで$(1)$式が成立しない標本の値の作成ができる。

問題1.2の解答例

問題1.3の解答例

指数関数・対数関数は統計学でよく用いられる関数であり、確率分布を考える際の正規分布などの指数型分布族や、最尤推定を行う際に対数尤度を計算するなどでも用いられます。当記事では指数関数・対数関数の式変形がスムーズに行えるように、基本的な定義や公式に関して演習の作成を行いました。

・統計学 基本演習$100$選
https://www.hello-statisticians.com/practice_100_basic

演習は主に下記の内容などに基づいて作成を行いましたので、以下を合わせて確認すると良いと思います。

基本問題

指数関数・対数関数の定義と公式

・問題

・解答

・解説

指数関数・対数関数のグラフ

・問題

・解答

・解説

ネイピア数$e$の定義と関連の式の導出

・問題
$$
\large
\begin{align}
\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e \quad (1)
\end{align}
$$

ネイピア数$e$は上記の$(1)$式で定義される数であり、数字で表すと$e=2.71…$である。指数関数・対数関数に関する微分などの演算は上記のように定めた$e$を用いるとシンプルに表すことができるので、$e$の定義の式は重要である。

一方で微分の公式の導出などの計算はなかなか複雑であるので、$e$の定義に関しては演習を繰り返すことで抑えておくと良い。よってこの問題では以下、$e$の定義や関連する式の導出に関して取り扱いを行う。ここまでの内容を元に下記の問題に答えよ。
i) $\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n}$に$n=1,2,3$をそれぞれ代入し、値の計算を行え。
ⅱ) プログラムなどを用いることで$n=1$〜$n=100$までの$\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n}$の値を計算し、グラフの描画を行え。
ⅲ) 下記の式が成立することを示せ。
$$
\begin{align}
\left( 1 – \frac{1}{t} \right)^{-t} = \left( 1 + \frac{1}{t-1} \right)^{t-1} \times \left( 1 + \frac{1}{t-1} \right)
\end{align}
$$
iv) 下記の式に対し、$t=-n$とおき、ⅲ)の変形を用いることで下記の式を示せ。
$$
\begin{align}
\lim_{n \to -\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e
\end{align}
$$
v) $\displaystyle n=\frac{1}{h}$を考えることで下記の式を示せ。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{h \to 0} \left( 1 + h \right)^{\frac{1}{h}} = e
\end{align}
$$

・解答
i)
$\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{1} \right)^{1}, \left( 1 + \frac{1}{2} \right)^{2}, \left( 1 + \frac{1}{3} \right)^{3}$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\left( 1 + \frac{1}{1} \right)^{1} &= (1+1)^{1} =2 \\
\left( 1 + \frac{1}{2} \right)^{2} &= \left( \frac{3}{2} \right)^{2} \\
&= \frac{9}{4} = 2.25 \\
\left( 1 + \frac{1}{3} \right)^{3} &= \left( \frac{4}{3} \right)^{3} \\
&= \frac{64}{27} = 2.370370…
\end{align}
$$

ⅱ)
下記を実行することで$n=1$〜$n=100$までの$\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n}$の値を計算し、グラフの描画を行うことができる。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

n = np.arange(1.,101.,1.)
y_n = np.zeros([100])

for i in range(100):
    y_n[i] = (1.+1./n[i])**n[i]

plt.plot(n,y_n)
plt.show()

実行結果

ⅲ)
$\displaystyle \left( 1 – \frac{1}{t} \right)^{-t}$は下記のように式変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\left( 1 – \frac{1}{t} \right)^{-t} &= \left( \frac{t-1}{t} \right)^{-t} \\
&= \left( \frac{t}{t-1} \right)^{t} \\
&= \left( \frac{(t-1)+1}{t-1} \right)^{t} \\
&= \left( 1 + \frac{1}{t-1} \right)^{t} \\
&= \left( 1 + \frac{1}{t-1} \right)^{t-1} \times \left( 1 + \frac{1}{t-1} \right)
\end{align}
$$

iv)
$t=-n$とおくことで、下記のように示すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{n \to -\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} &= \lim_{t \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{-t} \right)^{-t} \\
&= \lim_{t \to \infty} \left( 1 – \frac{1}{t} \right)^{-t} \\
&= \lim_{t \to \infty, t-1 \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{t-1} \right)^{t-1} \times \left( 1 + \frac{1}{t-1} \right) \right] \\
&= e \times 1 \\
&= e
\end{align}
$$

v)
$h>0$のとき、$\displaystyle n=\frac{1}{h}$とおくことで、下記のように示すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{h \to +0} \left( 1 + h \right)^{\frac{1}{h}} &= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \\
&= e
\end{align}
$$

$h<0$のときも同様に$\displaystyle n=\frac{1}{h}$とおくことで、下記のように示すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{h \to -0} \left( 1 + h \right)^{\frac{1}{h}} &= \lim_{n \to -\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \\
&= e
\end{align}
$$

・解説
v)の導出にあたっては$h \to +0$が$n \to \infty$に対応し、$h \to -0$が$n \to -\infty$に対応することは注意しておくと良いです。$n \to -\infty$の場合の式に関してはⅲ)、iv)で取り扱いましたが、式変形が少々複雑なので流れを抑えておくと良いと思います。
この問題で取り扱った$e$の定義は二項分布の確率関数の極限からポアソン分布の確率関数を導出する際に出てくるなど、統計学でもよく出てくるので重要なトピックであるので、繰り返して習得しておくと良いと思います。

発展問題

指数関数の微分の公式の導出

$$
\large
\begin{align}
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \quad (1)
\end{align}
$$

関数$f(x)$の導関数$f'(x)$は$(1)$式のように定義される。指数関数$f(x)=e^{x}$を考える際に$f'(x)=e^{x}$のような公式があるが、公式は$(1)$式に基づいて導出されたものであるということは把握しておく必要がある。

この問題では以下、$(1)$式に基づいて指数関数$f(x)=e^{x}$の微分に関して$f'(x)=e^{x}$が成立することを示し、式変形を行うことで$a^{x}, \, a>0$の微分の公式について同時に示す。ここまでの内容を元に下記の問題に答えよ。
i) $f(x)=e^{x}$ に関して$(1)$式を適用し、$f'(x)$が下記のように表せることを確認せよ。
$$
\begin{align}
f'(x) = \lim_{h \to 0} e^{x} \cdot \frac{e^{h}-1}{h}
\end{align}
$$
ⅱ) $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1}{h}=1$を$k=e^{h}-1$とおくことで示せ。
ⅲ) $(e^{x})’=e^{x}$を示せ。
iv) $a^{x}=e^{\log_{e}{a} x}$が成立することを確認せよ。
v) iv)の結果と合成関数の微分の公式を用いて$(a^{x})’=a^{x}\log_{e}{a}$が成立することを示せ。

・解答
i)
$f(x)=e^{x}$ に関して$(1)$式を適用することで、$f'(x)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^{x}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x}e^{h}-e^{x}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} e^{x} \cdot \frac{e^{h}-1}{h}
\end{align}
$$

ⅱ)
$k=e^{h}-1$は$h$に関して下記のように解ける。
$$
\large
\begin{align}
k &= e^{h}-1 \\
e^{h} &= k+1 \\
h &= \log_{e}{(k+1)}
\end{align}
$$

また、$h \to 0$のとき$k \to 0$である。よって、$\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1}{h}$は下記のように考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{e^{h}-1}{h} &= \lim_{k \to 0} \frac{k}{\log_{e}{(k+1)}} \\
&= \lim_{k \to 0} \frac{1}{\displaystyle \frac{1}{k} \log_{e}{(k+1)}} \\
&= \lim_{k \to 0} \frac{1}{\log_{e}{(1+k)^{\frac{1}{k}}}} \\
&= \frac{1}{\log_{e}{e}} \\
&= \frac{1}{1} = 1
\end{align}
$$

ⅲ)
i)、ⅱ)の結果を元に$(e^{x})’=e^{x}$は下記のように示すことができる。
$$
\large
\begin{align}
(e^{x})’ &= \lim_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^{x}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} e^{x} \cdot \frac{e^{h}-1}{h} \\
&= e^{x} \cdot 1 = e^{x}
\end{align}
$$

iv)
対数の定義より、$e$の$\log_{e}{a}$乗は$a$である。よって$a=e^{\log_{e}{a}}$が成立するので、同時に$a^{x}=e^{\log_{e}{a} x}$も成立する。

v)
$(a^{x})’$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
(a^{x})’ &= (e^{\log_{e}{a} x}) \\
&= \log_{e}{a} e^{\log_{e}{a} x} \\
&= a^{x} \log_{e}{a}
\end{align}
$$

・解説
指数関数の微分を考えるにあたっては$(e^{x})’=e^{x}$に基づいて$(a^{x})’=a^{x} \log_{e}{a}$は導出できるので、$(e^{x})’=e^{x}$の導出の流れは一通り確認しておくと良いと思います。

対数関数の微分の公式の導出

・問題
$$
\large
\begin{align}
f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \quad (1)
\end{align}
$$

関数$f(x)$の導関数$f'(x)$は$(1)$式のように定義される。対数関数$f(x)=\log_{e}{x}$を考える際に$\displaystyle f'(x) = \frac{1}{x}$のような公式があるが、公式は$(1)$式に基づいて導出されたものであるということは把握しておく必要がある。

この問題では以下、$(1)$式に基づいて$\displaystyle (\log_{e}{x})’ = \frac{1}{x}$が成立することを示し、式変形を行うことで$\log_{a}{x}, \, a>0, a \neq 0$の微分の公式について同時に示す。ここまでの内容を元に下記の問題に答えよ。
i) $f(x)=\log_{e}{x}$ に関して$(1)$式を適用し、$f'(x)$が下記のように表せることを確認せよ。
$$
\begin{align}
f'(x) = \lim_{h \to 0} \log_{e}{\left( 1 + \frac{h}{x} \right)}^{\frac{1}{h}}
\end{align}
$$
ⅱ) $(2^3)^2, 2^6$をそれぞれ計算し、結果が一致することを確かめよ。
ⅲ) ⅱ)で確認したように$(a^{x})^{y}=a^{xy}$が成立することとネイピア数の定義に基づいて、$(1)$式を元に$\displaystyle (\log_{e}{x})’ = \frac{1}{x}$を導出せよ。
iv) 底の変換公式を用いて$\log_{a}{x}, \, a>0, a \neq 0$を$e$を底とする対数関数に変換せよ。
v) iv)の結果と合成関数の微分の公式を用いて$\displaystyle (\log_{a}{x})’=\frac{1}{x \log_{e}{a}}$が成立することを示せ。

・解答
i)
$f(x)=\log_{e}{x}$ に関して$(1)$式を適用することで、$f'(x)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\log_{e}{(x+h)}-\log_{e}{x}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \log_{e}{\frac{x+h}{x}} \\
&= \lim_{h \to 0} \log_{e}{\left( 1 + \frac{h}{x} \right)}^{\frac{1}{h}}
\end{align}
$$

ⅱ)
$(2^3)^2=8^2=64, 2^6=64$より、$(2^3)^2=2^6$が成立することが確認できる。

ⅲ)
$\displaystyle (\log_{e}{x})’ = \frac{1}{x}$は下記のように示すことができる。
$$
\large
\begin{align}
(\log_{e}{x})’ &= \lim_{h \to 0} \frac{\log_{e}{(x+h)}-\log_{e}{x}}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \log_{e}{\left( 1 + \frac{h}{x} \right)}^{\frac{1}{h}} \\
&= \lim_{h \to 0} \log_{e}{\left[ \left( 1 + \frac{h}{x} \right)^{\frac{x}{h}} \right]^{\frac{1}{x}}} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{1}{x} \log_{e}{\left( 1 + \frac{h}{x} \right)^{\frac{x}{h}}} \\
&= \frac{1}{x} \log_{e}{e} = \frac{1}{x}
\end{align}
$$

iv)
底の変換公式を用いることで$\log_{a}{x}, \, a>0, a \neq 0$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\log_{a}{x} &= \frac{\log_{e}{x}}{\log_{e}{a}}
\end{align}
$$

v)
$\displaystyle (\log_{a}{x})’$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
(\log_{a}{x})’ &= \left( \frac{\log_{e}{x}}{\log_{e}{a}} \right)’ \\
&= \frac{1}{x \log_{e}{a}}
\end{align}
$$

・解説
対数関数の微分を考えるにあたっては$\displaystyle (\log_{e}{x})’ = \frac{1}{x}$に基づいて$\displaystyle (\log_{a}{x})’=\frac{1}{x \log_{e}{a}}$は導出できるので、$(\log_{e}{x})’$の導出の流れは一通り確認しておくと良いと思います。

三角関数は数多くの応用がある数学のトピックであり、統計学でも出てくることが多いですが、加法定理の派生の公式が多く、$1$つ$1$つ抑えるのもなかなか大変です。そこで当記事では単位円に基づく三角関数の定義や加法定理の図形的導出などを元に、三角関数に関して直感的に理解できる演習を作成しました。

・統計学 基本演習$100$選
https://www.hello-statisticians.com/practice_100_basic

基本問題

単位円と三角関数の定義

・問題
・解答
・解説

加法定理の図的理解

・問題
三角関数の加法定理の式の導出は色々とあるが、複雑な導出を毎度行うのは大変なので、図に基づいて導出する方法を知っておくと良い。この問題では以下、加法定理の図的理解に関して取り扱いを行う。

加法定理の理解にあたっては上記のように角度$\alpha, \beta$を考えるとき、$\sin{(\alpha+\beta)}$と$\cos{(\alpha+\beta)}$を図的に考えることができる。以下の問いにそれぞれ答えよ。
i) 図.$1$を元に$\sin{(\alpha+\beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$が成立することを確認せよ。
ⅱ) 図.$1$を元に$\cos{(\alpha+\beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$が成立することを確認せよ。

・解答
i)

上図を元に考えることで$\sin{(\alpha+\beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$が成立することが確認できる。

ⅱ)

上図を元に考えることで$\cos{(\alpha+\beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$が成立することが確認できる。

・解説
三角関数の加法定理は様々な導出法がありますが、式の形をなるべく速く導出できると良いのでこの問題で取り扱ったような図的な表現を抑えておくと良いと思います。この問題は下記を元に作成を行いましたので下記も合わせて参照ください。

倍角の公式の導出と応用

・問題
・解答
・解説

発展問題

和積・積和の公式

・問題
・解答
・解説

三角関数の極限とマクローリン展開

・問題
・解答
・解説