当記事は「統計検定$2$級対応 統計学基礎(東京図書)」の読解サポートにあたって第$3$章の「統計的推定」に関して演習問題を中心に解説を行います。母平均、母分散、母比率などの区間推定はよく出題されるので、演習を通して習得しておくと良いのではないかと思います。
本章のまとめ
練習問題解説
問$3$.$1$
・$[1]$
$\displaystyle Z_A = \frac{\overline{X}_{A}-\mu_1}{\sigma_1/\sqrt{n_A}} \sim \mathcal{N}(0,1), Z_B = \frac{\overline{X}_{B}-\mu_2}{\sigma_2/\sqrt{n_B}} \sim \mathcal{N}(0,1)$が成立すると考えられる。
よって$\mu_1$と$\mu_2$の$95$％区間は上側確率$\alpha$に関して$z_{\alpha=0.025}=1.96$であることを用いて下記のように計算できる。
$\mu_1$の区間推定
$$
\large
\begin{align}
-1.96 \leq & \frac{\overline{X}_{A}-\mu_1}{\sigma_1/\sqrt{n_A}} \leq 1.96 \\
\overline{X}_{A} – 1.96\frac{\sigma_1}{\sqrt{n_A}} \leq & \mu_1 \leq \overline{X}_{A} + 1.96\frac{\sigma_1}{\sqrt{n_A}} \\
58.38… \leq & \mu_1 \leq 66.01…
\end{align}
$$
$\mu_2$の区間推定
$$
\large
\begin{align}
-1.96 \leq & \frac{\overline{X}_{B}-\mu_2}{\sigma_2/\sqrt{n_B}} \leq 1.96 \\
\overline{X}_{B} – 1.96\frac{\sigma_2}{\sqrt{n_B}} \leq & \mu_1 \leq \overline{X}_{B} + 1.96\frac{\sigma_2}{\sqrt{n_B}} \\
67.82… \leq & \mu_2 \leq 74.97…
\end{align}
$$
・$[2]$
$\displaystyle t_A = \frac{\overline{X}_{A}-\mu_1}{\hat{\sigma}_1/\sqrt{n_A}} \sim t(n_{A}-1), t_B = \frac{\overline{X}_{B}-\mu_2}{\hat{\sigma}_2/\sqrt{n_B}} \sim t(n_{B}-1)$が成立すると考えられる。
よって$\mu_1$と$\mu_2$の$95$％区間は上側確率$\alpha$に関して$t_{\alpha=0.025}(n_{A}-1),t_{\alpha=0.025}(n_{B}-1)$を考えることで下記のように計算できる。
$\mu_1$の区間推定
$$
\large
\begin{align}
-t_{\alpha=0.025}(n_{A}-1) \leq & \frac{\overline{X}_{A}-\mu_1}{\hat{\sigma}_1/\sqrt{n_A}} \leq t_{\alpha=0.025}(n_{A}-1) \\
\overline{X}_{A} – t_{\alpha=0.025}(n_{A}-1)\frac{\hat{\sigma}_1}{\sqrt{n_A}} \leq & \mu_1 \leq \overline{X}_{A} + t_{\alpha=0.025}(n_{A}-1)\frac{\hat{\sigma}_1}{\sqrt{n_A}} \\
58.23… \leq & \mu_1 \leq 66.16…
\end{align}
$$
$\mu_2$の区間推定
$$
\large
\begin{align}
-1.96 \leq & \frac{\overline{X}_{B}-\mu_2}{\hat{\sigma}_2/\sqrt{n_B}} \leq 1.96 \\
\overline{X}_{B} – 1.96\frac{\hat{\sigma}_2}{\sqrt{n_B}} \leq & \mu_1 \leq \overline{X}_{B} + 1.96\frac{\hat{\sigma}_2}{\sqrt{n_B}} \\
67.69… \leq & \mu_2 \leq 75.10…
\end{align}
$$
問$3$.$2$
・$[1]$
母分散が未知であるが$n=2500$のように十分大きいので、$\displaystyle Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}} \sim \mathcal{N}(0,1)$であると考えて良い。
上側確率$\alpha$に関して$z_{\alpha=0.025}=1.96$が成立するので、下記のように$95$％区間を考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}} & \sim \mathcal{N}(0,1) \\
-z_{\alpha=0.025} \leq & \frac{\overline{x}-\mu}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}} \leq z_{\alpha=0.025} \\
-1.96 \leq & \frac{\overline{x}-\mu}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}} \leq 1.96 \\
-1.96 \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \leq & \overline{x}-\mu \leq 1.96 \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \\
-1.96 \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \leq & \mu-\overline{x} \leq 1.96 \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \\
\overline{x} – 1.96 \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \leq & \mu \leq \overline{x} + 1.96 \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \\
32.8 – 1.96 \times \frac{29.5}{\sqrt{2500}} \leq & \mu \leq 32.8 + 1.96 \times \frac{29.5}{\sqrt{2500}} \\
31.64… \leq & \mu \leq 33.95…
\end{align}
$$
・$[2]$
$n=25$より、$\displaystyle \frac{\overline{X}-\mu}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$であると考えられる。上側確率$\alpha$に関して$t_{\alpha=0.025}(25-1)=2.064$が成立するので、下記のように$95$％区間を考えることができる。
$$
\large
\begin{align}
Z = \frac{\overline{X}-\mu}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}} & \sim t(25-1) \\
-2.064 \leq & \frac{\overline{x}-\mu}{\hat{\sigma}/\sqrt{n}} \leq 2.064 \\
\overline{x} – 1.96 \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \leq & \mu \leq \overline{x} + 1.96 \frac{\hat{\sigma}}{\sqrt{n}} \\
32.8 – 2.064 \times \frac{29.5}{\sqrt{25}} \leq & \mu \leq 32.8 + 2.064 \times \frac{29.5}{\sqrt{25}} \\
20.62… \leq & \mu \leq 44.97…
\end{align}
$$
上記のように推定した区間に幅があるなど、サンプルが少ない場合の推定した区間は意味のあるものにならない場合が多いことに注意する必要がある。
問$3$.$3$
・$[1]$
・$[2]$
・$[3]$
問$3$.$4$
・$[1]$
・$[2]$
問$3$.$5$
・$[1]$
・$[2]$
・$[3]$
・$[4]$
参考
・統計検定$2$級 まとめ