当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$21$の「射影と射影行列」の章末問題の解答の作成を行いました。基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない…
Hello Statisticians!
当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$21$の「射影と射影行列」の章末問題の解答の作成を行いました。基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない…
$p$次元ベクトル$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{p}$を部分空間$M$に対応させる行列を射影行列(Projection Matrix)といいます。当記事では射影行列について成立する性質とその導出…
行列は小行列(submatrix)を用いてブロックに区分けすることが可能です。当記事では「小行列(submatrix)を定義することで行列の区分けを行いその後に行列の積の計算を行う流れ」について計算方法と計算例について取…
行列$A$を代入すると零行列$O$になる多項式の中で「次数が最小」かつ「最高次の係数が$1$」である多項式を最小多項式(minimal polynomial)といいます。当記事では最小多項式と行列の対角化可能性の判定法と…
$n$個の変数についての$2$次の単項式$x_i, x_j$の実数係数の$1$次結合の式を$2$次形式(quadratic form)といいます。当記事では$2$次形式が正定値かどうかの判定と$2$次形式の標準形やシルベ…
ベクトル空間$V$からベクトル空間$W$への線形写像$f:V \longrightarrow W$について、それぞれのベクトル空間$V, W$の基底に基づく演算の際に表現行列が用いられます。当記事では部分空間への正射影作…
ベクトル空間$V$からベクトル空間$W$への線形写像$f:V \longrightarrow W$について、それぞれのベクトル空間$V, W$の基底に基づく演算の際に表現行列(representation matrix)…
計量ベクトル空間におけるノルム(norm)が$1$かつ直交する基底(basis)を正規直交基底(orthonormal basis)といいます。当記事では正規直交基底(orthonormal basis)の定義とグラム・…
計量ベクトル空間で内積を元に定義されるノルムが$1$になるようにベクトルの大きさの調整を行うことをベクトルの正規化(normalization)といいます。当記事では計量ベクトル空間におけるベクトルの正規化の流れと計算例…
計量ベクトル空間の$V$では内積(dot product)の値に基づいてベクトル$\mathbf{v}$の大きさ・ノルム(norm)や$\mathbf{v}, \mathbf{w}$のなす角を定義することができます。当記…