$n$個の変数についての$2$次の単項式$x_i, x_j$の実数係数の$1$次結合の式を$2$次形式(quadratic form)といいます。当記事では$2$次形式が正定値かどうかの判定と$2$次形式の標準形やシルベスター標準形についてそれぞれ確認を行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$8$章「固有値問題と行列の対角化」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
正定値かどうかの判定・標準形
正定値かどうかの確認
標準形
$\mathbb{R}$上の$n$変数の$2$次形式を$q(x_1, \cdots , x_n)$とおく。
$$
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\begin{align}
\left( \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right) = U \left( \begin{array}{c} x_{1}’ \\ \vdots \\ x_{n}’ \end{array} \right)
\end{align}
$$
このとき上記のような行列$U$による変数変換によって、$q(x_1, \cdots , x_n)$は下記のような形に変換することができる。
$$
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\begin{align}
q(x_1, \cdots , x_n) &= \lambda_{1} x_{1}’^{2} + \cdots + \lambda_{n} x_{n}’^{2}
\lambda_{1}, \cdots , \lambda_{n} & \in \mathbb{R}
\end{align}
$$
上記のような形式の$2$次形式を標準形という。任意の$2$次形式は対応する行列$U$を用いた直交変換によって標準形に変換することができる。
シルベスター標準形
$\mathbb{R}$上の$n$変数の$2$次形式を$q(x_1, \cdots , x_n)$とおく。
$$
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\begin{align}
\left( \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right) = P \left( \begin{array}{c} x_{1}’ \\ \vdots \\ x_{n}’ \end{array} \right)
\end{align}
$$
このとき上記のような行列$P$による変数変換によって、$q(x_1, \cdots , x_n)$は下記のような形に変換することができる。
$$
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\begin{align}
q(x_1, \cdots , x_n) &= x_{1}’^{2} + \cdots + x_{n_{+}}’^{2} – x_{n_{+}+1}’^{2} – \cdots – x_{n_{+} + n_{-}}’^{2}
\end{align}
$$
上記のような形式の$2$次形式をシルベスター標準形という。ここで$n_{+}$を$2$次形式$q$の正の慣性指数、$n_{-}$を$q$の負の慣性指数という。
計算例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$163$
基本例題$164$
・$[1]$
$$
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\begin{align}
q(x_1, \cdots , x_3) = 4x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2} – 4x_{1}x_{2} – 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}x_{1}
\end{align}
$$
上記の式は下記のように平方完成することができる。
$$
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\begin{align}
q(x_1, \cdots , x_n) &= 4x_{1}^{2} + 2x_{2}^{2} + 3x_{3}^{2} – 4x_{1}x_{2} – 4x_{2}x_{3} + 4x_{3}x_{1}
&= (2x_{1}-x_{2}+x_{3})^{2} + (x_{2}-x_{3})^{2} + x_{3}^{2}
\end{align}
$$
ここで$x_{1}’=2x_{1}-x_{2}+x_{3}$、x_{2}’=x_{2}-x_{3}$、$x_{3}’=x_{3}$とおくと下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\left( \begin{array}{c} x_{1}’ \\ x_{2}’ \\ x_{3}’ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{c} x_{1}’ \\ x_{2}’ \\ x_{3}’ \end{array} \right)
\left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array} \right) &= U \left( \begin{array}{c} x_{1}’ \\ x_{2}’ \\ x_{3}’ \end{array} \right) \quad (1)
\end{align}
$$
上記より、与えられた$2$次形式$q(x_1, \cdots , x_3)$は$(1)$式のような変数変換によって標準形$q(x_1, \cdots , x_3)=x_{1}’^{2} + x_{2}’^{2} + x_{3}’^{2}$に変換される。この標準形はシルベスター標準形でもある。