ベクトル空間$V$からベクトル空間$W$への線形写像$f:V \longrightarrow W$について、それぞれのベクトル空間$V, W$の基底に基づく演算の際に表現行列が用いられます。当記事では部分空間への正射影作用素の表現行列について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$6$章「線形写像」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
部分空間への正射影作用素の表現行列
表現行列
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\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{m} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)
\end{align}
$$
線形写像$f:V \longrightarrow W$の表現行列$A$は上記を元に下記のように定義される。
$$
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\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)
\end{align}
$$
詳しくは下記で取り扱った。
https://www.hello-statisticians.com/math_basic/representation_matrix1.html
正射影作用素
正射影作用素の表現行列
計算例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。