行列$A$を代入すると零行列$O$になる多項式の中で「次数が最小」かつ「最高次の係数が$1$」である多項式を最小多項式(minimal polynomial)といいます。当記事では最小多項式と行列の対角化可能性の判定法と具体例について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$8$章「固有値問題と行列の対角化」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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最小多項式と対角化可能性
最小多項式の定義
$n$次正方行列$A$に対して集合$I_{A}$を下記のように定義する。
$$
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\begin{align}
I_{A} = \{ f(t) \, | \, f(A) = O \}
\end{align}
$$
上記は$I_{A}$が「$A$を代入すると零行列になるような多項式の全体がなす集合」と解釈できる。このように定義を行なった集合$I_{A}$における「次数が最小」かつ「多項式の最高次数の係数が$1$」である多項式を最小多項式(minimal polynomial)という。
最小多項式と対角化可能性
$n$次正方行列$A$の最小多項式を$p_{A}(t)$とおくとき、下記の$[1]$〜$[3]$は同値である。
$[1] \,$ 行列$A$は対角化可能である。
$[2] \,$ 方程式$p_{A}(t)=0$は重解を持たない。
$[3] \,$ 行列$A$の相異なる全ての固有値を$\lambda_{1}, \cdots , \lambda_{r}$とするとき、最小多項式$p_{A}(t)$が下記のように分解できる。
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\begin{align}
p_{A}(t) = \prod_{i=1}^{r} (t \, – \, \lambda_{i})
\end{align}
$$
最小多項式の使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$175$
$$
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\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
行列$A$の固有多項式を$F_{A}(t)$、最小多項式を$p_{A}(t)$とおく。このとき、$F_{A}(t) = \det{(tI_{3} \, – \, A)}$は下記のように得ることができる。
$$
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\begin{align}
F_{A}(t) &= \det{(tI_{3} \, – \, A)} = \left| \begin{array}{ccc} t \, – \, 1 & 1 & -1 \\ -1 & t \, – \, 1 & -1 \\ 0 & -2 & t \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 0 & t^{2} \, – \, 2t + 2 & -t \\ -1 & t \, – \, 1 & -1 \\ 0 & -2 & t \end{array} \right| \\
&= (-1) \cdot (-1)^{2+1} \left| \begin{array}{cc} t^{2} \, – \, 2t + 2 & -t \ -2 & t \end{array} \right| \\
&= t(t^{2} \, – \, 2t + 2) \, – \, 2t \\
&= t^{3} \, – \, 2 t^{2} \\
&= t^{2}(t \, – \, 2)
\end{align}
$$
上記より$p_{A}(t) = t(t-2) \, \mathrm{or} \, t^{2}(t-2)$である。ここで$p(t)=t(t-2)$とおくと、$p(A)$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
p(A) &= A(A \, – \, 2I_{3}) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} -1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -2 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} -2 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & -2 & 2 \end{array} \right) \neq O
\end{align}
$$
上記より$p_{A}(t)=t^{2}(t-2)$である。ここで$p_{A}(t)=0$が重解を持つので行列$A$は対角化不可能である。