行列$A$を代入すると零行列$O$になる多項式の中で「次数が最小」かつ「最高次の係数が$1$」である多項式を最小多項式(minimal polynomial)といいます。当記事では最小多項式の定義とチャート式線形代数の演習を題材に計算例について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$8$章「固有値問題と行列の対角化」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
最小多項式の定義と求め方
最小多項式の定義
$n$次正方行列$A$に対して集合$I_{A}$を下記のように定義する。
$$
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\begin{align}
I_{A} = \{ f(t)| f(A) = O \}
\end{align}
$$
上記は$I_{A}$が「$A$を代入すると零行列になるような多項式の全体がなす集合」と解釈できる。このように定義を行なった集合$I_{A}$における「次数が最小」かつ「多項式の最高次数の係数が$1$」である多項式を最小多項式(minimal polynomial)という。
最小多項式の求め方
固有多項式$F_{A}(t)$を因数分解の形式で表した後に、$2$乗より大きい要素は$1$乗から順に最小多項式の定義が成立するかを確認すれば良い。具体的な導出の流れは次節の演習で取り扱った。
最小多項式の使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$173$
・$[1]$
$$
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\begin{align}
A &= \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記の$A$の固有多項式を$F_{A}(t)$とおくと、$F_{A}(t)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
F_{A}(t) &= \det{(tI_{2} \, – \, A)} = \left| \begin{array}{cc} t-2 & -1 \\ -2 & t-3 \end{array} \right| \\
&= (t-2)(t-3) – 2 \\
&= t^{2} – 5t + 6 – 2 \\
&= t^{2} – 5t + 4 \\
&= (t-1)(t-4)
\end{align}
$$
上記より、行列$A$の最小多項式は$(t-1)(t-4)$である。
・$[2]$
$$
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\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記の$A$の固有多項式を$F_{A}(t)$とおくと、$F_{A}(t)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
F_{A}(t) &= \det{(tI_{2} \, – \, A)} = \left| \begin{array}{ccc} t-3 & -1 & -1 \\ -2 & t-4 & -2 \\ -1 & -1 & t-3 \end{array} \right| \\
&= -\left| \begin{array}{ccc} -1 & -1 & t-3 \\ -2 & t-4 & -2 \\ t-3 & -1 & -1 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3-t \\ -2 & t-4 & -2 \\ t-3 & -1 & -1 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -2 & t-2 & -2(t-2) \\ t-3 & -(t-2) & (t-2)(t-4) \end{array} \right| \\
&= (-1)^{1+1} \left| \begin{array}{cc} t-2 & -2(t-2) \\ -(t-2) & (t-2)(t-4) \end{array} \right| \\
&= (t-2)^{2} \left| \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -1 & t-4 \end{array} \right| \\
&= (t-2)^{2} (t-4-2) = (t-2)^{2} (t-6)
\end{align}
$$
ここで$p(t)=(t-2)(t-6)$とおくと、$p(A)$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
p(A) &= (A \, – \, 2I_{3})(A \, – \, 6I_{3}) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} -3 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) = O
\end{align}
$$
よって最小多項式の定義より、行列$A$の最小多項式は$(t-2)(t-6)$である。