固有多項式(characteristic polynomial)は固有値を計算する際の固有方程式に用いられる多項式です。当記事では固有多項式の定義・活用と、三角行列(triangular matrix)における固有多項式の計算について取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$8$章「固有値問題と行列の対角化」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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固有多項式
固有多項式の定義
$n$次正方行列$A$の$t$を変数とする固有方程式$F_{A}(t)$は行列式$\det$と$n$次の単位行列$I_{n}$を用いて下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
F_{A}(t) = \det{(tI_{n} \, – \, A)}
\end{align}
$$
固有方程式は上記を用いて$F_{A}(t)=\det{(tI_{n} \, – \, A)}=0$のように表す。
三角行列の固有多項式
固有多項式の使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$154$
$[1]$
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 2 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記の$A$の固有多項式を$F_{A}(t)$とおくと、$F_{A}(t)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
F_{A}(t) &= \det{(tI_{2} \, – \, A)} = \left| \begin{array}{cc} t-2 & -1 \\ -2 & t-3 \end{array} \right| \\
&= (t-2)(t-3) – 2 \\
&= t^{2} – 5t + 6 – 2 \\
&= t^{2} – 5t + 4 \\
&= (t-1)(t-4)
\end{align}
$$
上記より行列$A$の固有値は$1$と$4$である。
・固有値$1$に対応する固有空間の基底
$A-I_{2}$は下記のように行基本変形を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
A \, – \, I_{2} &= \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
よって、$(A-I_{2})\mathbf{x}=\mathbf{0}$の解は$\displaystyle \mathbf{x} = c \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right)$であり、このベクトルが固有値$1$に対応する固有空間の基底である。
・固有値$4$に対応する固有空間の基底
$A-4I_{2}$は下記のように行基本変形を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
A \, – \, 4I_{2} &= \left( \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 2 & -1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
よって、$(A \, – \, 4I_{2})\mathbf{x}=\mathbf{0}$の解は$\displaystyle \mathbf{x} = c \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)$であり、このベクトルが固有値$1$に対応する固有空間の基底である。
・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記の$A$の固有多項式を$F_{A}(t)$とおくと、$F_{A}(t)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
F_{A}(t) &= \det{(tI_{2} \, – \, A)} = \left| \begin{array}{ccc} t-3 & -1 & -1 \\ -2 & t-4 & -2 \\ -1 & -1 & t-3 \end{array} \right| \\
&= -\left| \begin{array}{ccc} -1 & -1 & t-3 \\ -2 & t-4 & -2 \\ t-3 & -1 & -1 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 3-t \\ -2 & t-4 & -2 \\ t-3 & -1 & -1 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -2 & t-2 & -2(t-2) \\ t-3 & -(t-2) & (t-2)(t-4) \end{array} \right| \\
&= (-1)^{1+1} \left| \begin{array}{cc} t-2 & -2(t-2) \\ -(t-2) & (t-2)(t-4) \end{array} \right| \\
&= (t-2)^{2} \left| \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -1 & t-4 \end{array} \right| \\
&= (t-2)^{2} (t-4-2) = (t-2)^{2} (t-6)
\end{align}
$$
上記より行列$A$の固有値は$2$と$6$であり、それぞれの重複度は$2$と$1$である。以下、それぞれの固有値に対応する固有ベクトルの計算を行う。
・固有値$2$に対応する固有空間の基底
$A \,- \, 2I_{3}$は下記のように行基本変形を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
A \, – \, 2I_{3} &= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
よって、$(A \, – \, 2I_{3})\mathbf{x}=\mathbf{0}$の解は$\displaystyle \mathbf{x} = c \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right) + d \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right)$であるので、$\displaystyle c \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)$と$d \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right)$が固有値$2$に対応する固有空間の基底である。
・固有値$6$に対応する固有空間の基底
$A \, – \, 6I_{3}$は下記のように行基本変形を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
A \, – \, 6I_{2} &= \left( \begin{array}{ccc} -3 & 1 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -3 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -3 \\ 2 & -2 & 2 \\ -3 & 1 & 1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -3 \\ 0 & -4 & 8 \\ 0 & 4 & -8 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
よって、$(A \, – \, 6I_{2})\mathbf{x}=\mathbf{0}$の解は$\displaystyle \mathbf{x} = c \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)$であり、このベクトルが固有値$6$に対応する固有空間の基底である。