行列の固有多項式とケーリー・ハミルトンの定理(Cayley–Hamilton theorem)

ケーリー・ハミルトンの定理(Cayley–Hamilton theorem)は行列の次数下げなどにあたって用いられる式です。当記事では行列の固有多項式に基づくケーリー・ハミルトンの定理の一般的な式を確認した後に、$2$次正方行列のケーリー・ハミルトンの定理の式との対応について確認します。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$8$章「固有値問題と行列の対角化」を主に参考にしました。

・数学まとめ
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前提の確認

行列の固有多項式

$n$次正方行列$A$の変数$t$の固有多項式$F_{A}(t)$は行列式$\det$と$n$次の単位行列$I_{n}$を元に下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
F_{A}(t) = \det{(tI_{n} – A)}
\end{align}
$$

$2$次正方行列におけるケーリー・ハミルトンの定理

$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記のように定義される$2$次正方行列$A$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
A^{2} – (a+d)A + (ad – bc) I_{2} &= O \\
A^{2} &= (a+d)A – (ad – bc) I_{2} \quad (1)
\end{align}
$$

上記の$O$は零行列を表す。

ケーリー・ハミルトンの定理

固有多項式とケーリー・ハミルトンの定理

$n$次正方行列$A$の固有多項式が$F_{A}(t)$のように表されるとき、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
F_{A}(A) = O
\end{align}
$$

上記をケイリー・ハミルトンの定理という。

$2$次正方行列の式の導出

$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記のように定義される$2$次正方行列$A$の固有多項式$F_{A}(t)$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
F_{A}(t) &= \det{(tI_{n} – A)} \\
&= \left| \begin{array}{cc} t-a & b \\ c & t-d \end{array} \right| \\
&= (t-a)(t-d) – bc \\
&= t^{2} -(a+d)t + ad-bc
\end{align}
$$

上記より、$F_{A}(A)=O$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
F_{A}(A) &= O \\
A^{2} -(a+d)A + (ad-bc)I_{2} &= O \\
A^{2} &= (a+d)A – (ad-bc)I_{2} \quad (2)
\end{align}
$$

$(2)$式は$(1)$式に一致する。