行列は小行列(submatrix)を用いてブロックに区分けすることが可能です。当記事では「小行列(submatrix)を定義することで行列の区分けを行いその後に行列の積の計算を行う流れ」について計算方法と計算例について取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$1$章「行列の概念」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
行列の区分けと行列の積
行列の区分けと小行列
行列は区分けし、小行列を用いて表すことができる。詳しくは次節の計算例で取り扱った。
行列の積
小行列を用いて区分けした行列について行列の積の計算を行うことができる。詳しくは次節の計算例で取り扱った。
計算例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$010$
$$
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\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right), \quad B = \left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
下記のように小行列$A_1, A_2, B_1, B_2, O$を定義する。
$$
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\begin{align}
A_1 &= \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \\
A_2 &= \left( \begin{array}{cc} -2 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \\
B_1 &= \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \\
B_2 &= \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{array} \right) \\
O &= \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
ここで$A_1 B_1$と$A_2 B_2$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
A_1 B_1 &= \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 2 & 0 \\ 0 & -2 \end{array} \right) \\
A_2 B_2 &= \left( \begin{array}{cc} -2 & 3 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 4 & -11 \\ 3 & -2 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記に基づいて行列の積$AB$は下記のように計算することができる。
$$
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\begin{align}
AB &= \left( \begin{array}{cccc} 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & -3 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} A_1 & O \\ O & A_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} B_1 & O \\ O & B_2 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} A_1 B_1 & O \\ O & A_2 B_2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -11 \\ 0 & 0 & 3 & -2 \end{array} \right)
\end{align}
$$