計量ベクトル空間の$V$では内積(dot product)の値に基づいてベクトル$\mathbf{v}$の大きさ・ノルム(norm)や$\mathbf{v}, \mathbf{w}$のなす角を定義することができます。当記事ではベクトルのノルムやなす角の計算法や計算例について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$7$章「内積」の内容を主に参考にしました。
・数学まとめ
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Contents
ベクトルのノルムとなす角
計量ベクトル空間と標準内積
$K$上のベクトル空間$V$内の$2$つのベクトル$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$について、内積$(\mathbf{v}, \mathbf{w})$が定義された空間を計量ベクトル空間という。特に$K=\mathbb{R}$のとき実計量ベクトル空間、$K=\mathbb{C}$のとき複素計量ベクトル空間という。
$$
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\begin{align}
\mathbf{v} &= \left( \begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right) \\
\mathbf{w} &= \left( \begin{array}{c} w_{1} \\ \vdots \\ w_{n} \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記のように$n$次元の実計量ベクトル空間$\mathbb{R}^{n}$の$2$つのベクトル$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{n}$が定義されるとき、標準内積$(\mathbf{v}, \mathbf{w})$は下記のような式で定義される。
$$
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\begin{align}
(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = \mathbf{w}^{\mathrm{T}} \mathbf{v} = v_{1} w_{1} + \cdots v_{n} w_{n}
\end{align}
$$
ベクトルのノルム
計量ベクトル空間$V$内のベクトル$\mathbf{v} \in V$のノルム$||\mathbf{v}||$は計量ベクトル空間の内積に基づいて下記のように定義される。
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\begin{align}
||\mathbf{v}|| = \sqrt{(\mathbf{v}, \mathbf{v})}
\end{align}
$$
ベクトルのノルムのことをベクトルの大きさという場合もある。
ベクトルのなす角
計量ベクトル空間$V$内の$2$つのベクトル$\mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$のなす角を$\theta \, (0 \leq \theta \leq \pi)$とおくと、$\theta$について下記が成立する。
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\begin{align}
\cos{\theta} = \frac{(\mathbf{v}, \mathbf{w})}{||\mathbf{v}|| ||\mathbf{w}||}
\end{align}
$$
ベクトルのノルム・なす角の計算例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$135$
・$[1]$
$$
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\begin{align}
\mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{w} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
ノルム$||\mathbf{v}||, ||\mathbf{w}||$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
||\mathbf{v}|| &= \sqrt{(\mathbf{v}, \mathbf{v})} = \sqrt{2^2+0^2} = 2 \\
||\mathbf{w}|| &= \sqrt{(\mathbf{w}, \mathbf{w})} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}
\end{align}
$$
また、ベクトル$\mathbf{v}$と$\mathbf{w}$のなす角を$\theta \, (0 \leq \theta \leq \pi)$とおくと下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\cos{\theta} &= \frac{(\mathbf{v}, \mathbf{w})}{||\mathbf{v}|| ||\mathbf{w}||} \\
&= \frac{\cancel{2}}{\cancel{2} \sqrt{2}} \\
&= \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{align}
$$
ここで$0 \leq \theta \leq \pi$であるので上記より$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{4}$が得られる。
・$[2]$
$$
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\begin{align}
\mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{w} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
ノルム$||\mathbf{v}||, ||\mathbf{w}||$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
||\mathbf{v}|| &= \sqrt{(\mathbf{v}, \mathbf{v})} = \sqrt{(-1)^2+1^2+0^2} = \sqrt{2} \\
||\mathbf{w}|| &= \sqrt{(\mathbf{w}, \mathbf{w})} = \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{6}
\end{align}
$$
また、ベクトル$\mathbf{v}$と$\mathbf{w}$のなす角を$\theta(0 \leq \theta \leq \pi)$とおくと下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\cos{\theta} &= \frac{(\mathbf{v}, \mathbf{w})}{||\mathbf{v}|| ||\mathbf{w}||} \\
&= \frac{-3}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} \\
&= -\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}
$$
ここで$0 \leq \theta \leq \pi$であるので上記より$\displaystyle \theta = \frac{5}{6}\pi$が得られる。
・$[3]$
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right), \, \mathbf{w} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
ノルム$||\mathbf{v}||, ||\mathbf{w}||$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
||\mathbf{v}|| &= \sqrt{(\mathbf{v}, \mathbf{v})} = \sqrt{1^2+1^2+1^2+1^2} = 2 \\
||\mathbf{w}|| &= \sqrt{(\mathbf{w}, \mathbf{w})} = \sqrt{0^2+1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}
\end{align}
$$
また、ベクトル$\mathbf{v}$と$\mathbf{w}$のなす角を$\theta(0 \leq \theta \leq \pi)$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\cos{\theta} &= \frac{(\mathbf{v}, \mathbf{w})}{||\mathbf{v}|| ||\mathbf{w}||} \\
&= \frac{3}{2 \sqrt{3}} \\
&= \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{align}
$$
ここで$0 \leq \theta \leq \pi$であるので上記より$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{6}$が得られる。