ベクトル空間$V$の基底を同じベクトル空間上の基底に写すにあたって用いられる行列を基底の変換行列(change of basis matrix)といいます。当記事では基底変換(change of basis)を伴う線形写像の表現行列(representation matrix)について取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$6$章「線形写像」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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Contents
基底変換を伴う線形写像の表現行列
ベクトル空間と基底の定義
$2$つのベクトル空間$V, W$を定義し、$V, W$についてそれぞれ$2$つの基底を下記のように定義する。
$$
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\begin{align}
V &= \left< \mathbf{v}_{1}, \, \cdots , \, \mathbf{v}_{n} \right>, \, \left< \mathbf{v}_{1}’, \, \cdots , \,\mathbf{v}_{n}’ \right> \\
W &= \left< \mathbf{w}_{1}, \, \cdots , \, \mathbf{w}_{n} \right>, \, \left< \mathbf{w}_{1}’, \, \cdots , \, \mathbf{w}_{n}’ \right>
\end{align}
$$
基底の変換行列の定義
$V$の基底変換と$W$の基底変換を基底の変換行列$P, Q$を用いてそれぞれ下記のように定義する。
$$
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\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1}’ & \cdots & \mathbf{v}_{n}’ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \cdots & \mathbf{v}_{n} \end{array} \right) P \\
\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1}’ & \cdots & \mathbf{w}_{n}’ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{n} \end{array} \right) Q
\end{align}
$$
基底変換を伴う線形写像の表現行列
線形変換$f:V \longrightarrow W$を表現行列$A, A’$を用いてをそれぞれ下記のように定義する。
$$
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\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{n} \end{array} \right) A \\
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}’) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}’) \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1}’ & \cdots & \mathbf{w}_{n}’ \end{array} \right) A’ \quad (1.1)
\end{align}
$$
ここで$f$が線形変換であることから下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}’) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}’) \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right) P
\end{align}
$$
よって、表現行列$A’$について下記の式が成立する。
$$
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\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}’) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}’) \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right) P \\
&= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{n} \end{array} \right) A P \\
&= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1}’ & \cdots & \mathbf{w}_{n}’ \end{array} \right) Q^{-1} A P \quad (1.2)
\end{align}
$$
$(1)$式と$(2)$式より$A’ = Q^{-1} A P$が成立する。
計算例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$126$
$$
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\begin{align}
f(\mathbf{v}_{1}) &= \mathbf{w}_{1} + 5 \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{2}) &= \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{3}) &= 3 \mathbf{w}_{1} + 7 \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{4}) &= 2 \mathbf{w}_{1} + 6 \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{5}) &= \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2}
\end{align}
$$
$$
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\begin{align}
\mathbf{w}_{1}’ &= \mathbf{w}_{1} + 5 \mathbf{w}_{2} \\
\mathbf{w}_{2}’ &= \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2}
\end{align}
$$
上記より下記が成立する。
$$
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\begin{align}
& \left( \begin{array}{ccccc} f(\mathbf{v}_{1}’) & f(\mathbf{v}_{2}’) & f(\mathbf{v}_{3}’) & f(\mathbf{v}_{4}’) & f(\mathbf{v}_{5}’) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccccc} f(\mathbf{v}_{2}) & f(\mathbf{v}_{3}) & f(\mathbf{v}_{1}) & f(\mathbf{v}_{5}) & f(\mathbf{v}_{4}) \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccccc} f(\mathbf{v}_{1}) & f(\mathbf{v}_{2}) & f(\mathbf{v}_{3}) & f(\mathbf{v}_{4}) & f(\mathbf{v}_{5}) \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \mathbf{w}_{1} & \mathbf{w}_{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 7 & 6 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \mathbf{w}_{1}’ & \mathbf{w}_{2}’ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 5 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 7 & 6 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc} \mathbf{w}_{1}’ & \mathbf{w}_{2}’ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} -1 & 1 \\ 5 & -1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 7 & 6 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \mathbf{w}_{1}’ & \mathbf{w}_{2}’ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
よって表現行列$A’=Q^{-1}AP$は下記のように得られる。
$$
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\begin{align}
A’ = Q^{-1}AP = \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 1 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$