ベクトル空間$V$の基底を同じベクトル空間上の基底に写すにあたって用いられる行列を基底の変換行列(change of basis matrix)といいます。当記事では基底の変換行列(change of basis matrix)の概要と具体例について取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$6$章「線形写像」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
基底の変換行列の概要
$n$次元ベクトル空間$V$の$2$つの基底を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1}, \, \cdots , \, \mathbf{v}_{n} \right\} \quad (1) \\
\left\{ \mathbf{v}_{1}’, \, \cdots , \, \mathbf{v}_{n}’ \right\} \quad (2)
\end{align}
$$
上記に対し、$V$の$1$次変換$\varphi: V \longrightarrow V$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
\varphi(\mathbf{v}_{i}) = \mathbf{v}_{i}’
\end{align}
$$
このとき$(1)$と$(2)$に関する$1$次変換の表現行列を$P$とおくと、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1}’ & \cdots & \mathbf{v}_{n}’ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \cdots & \mathbf{v}_{n} \end{array} \right) P
\end{align}
$$
上記の行列$P$を基底$(1)$から基底$(2)$への変換行列という。基底の変換行列は正則行列であるので、上記の行列$P$は$n$次正則行列である。
基底の変換行列の例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$125$
$$
\large
\begin{align}
& \left\{ \mathbf{v}_{1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{2} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{3} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \right\} \\
& \left\{ \mathbf{v}_{1}’ = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{2}’ = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{3}’ = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \right\}
\end{align}
$$
基底の変換行列を$P$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1}’ & \mathbf{v}_{2}’ & \mathbf{v}_{3}’ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \mathbf{v}_{3} \end{array} \right) P \\
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) P \\
P &= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
逆行列の計算にあたっては、掃き出し法を用いることで得ることができる。掃き出し法については下記で詳しく取り扱った。
重要例題$064$
$[1]$
$$
\large
\begin{align}
& \left\{ \mathbf{v}_{1} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{2} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{3} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right) \right\} \\
& \left\{ \mathbf{e}_{1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{e}_{2} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{e}_{3} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \right\}
\end{align}
$$
基底の変換行列を$P$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{e}_{1} & \mathbf{e}_{2} & \mathbf{e}_{3} \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \mathbf{v}_{3} \end{array} \right) P \\
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) P \\
P &= \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right)^{-1} = \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -4 \end{array} \right)
\end{align}
$$
$[2]$
$$
\large
\begin{align}
& \left\{ \mathbf{v}_{1} = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{2} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{3} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right) \right\} \\
& \left\{ \mathbf{v}_{1}’ = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 3 \\ 1 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{2}’ = \left( \begin{array}{c} -6 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{3}’ = \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ -1 \end{array} \right) \right\}
\end{align}
$$
基底の変換行列を$P$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1}’ & \mathbf{v}_{2}’ & \mathbf{v}_{3}’ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \mathbf{v}_{3} \end{array} \right) P \\
\left( \begin{array}{ccc} -3 & -6 & 2 \\ 3 & 5 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right) P \\
P &= \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{array} \right)^{-1} \left( \begin{array}{ccc} -3 & -6 & 2 \\ 3 & 5 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} -3 & -6 & 2 \\ 3 & 5 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{3} \left( \begin{array}{ccc} -1 & -4 & 1 \\ 7 & 10 & -4 \\ -4 & -13 & 4 \end{array} \right)
\end{align}
$$