基本行列を用いた行基本変形に基づく逆行列(Inverse Matrix)の計算法

$3$次以上の正則行列の逆行列の計算にあたっては$2$次の正則行列のように公式がない一方で、行基本変形を左からの基本行列の作用と考えることで逆行列(Inverse Matrix)を得ることができます。当記事では計算の一連の流れと演習に基づく計算例の確認を行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$3.3$節「逆行列」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

逆行列の計算法

基本行列と行基本変形

「行基本変形/行基本操作」は「基本行列」を右から掛ける演算に対応する。

基本行列(elementary matrix)の判定と基本行列による行基本操作の確認

複数の行基本変形と基本行列(elementary matrix)の積の対応

逆行列の計算法

正則行列$A$について行列$A$から単位行列$I$を作る行基本変形を単位行列$I$に作用させることで行列$A$の逆行列$A^{-1}$を得ることができる。この手順は行基本変形$X$を用いて$XA=I$が得られるとき、$X=A^{-1}$が成立すると解釈すると理解しやすい。

具体例の確認

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$051$

・$(1)$

$$
\large
\begin{align}
\left( A \, \middle| \, I \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記に対し、掃き出し法を用いると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) & \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -2 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ -4 & 0 & 1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 4 & 0 & -1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{array} \right) \\
&= \left( I \, \middle| \, A^{-1} \right)
\end{align}
$$

上記では$A$に行基本変形を行うことで$I$が導出できたので$\mathrm{rank} A = 3$であり、行列$A$が正則であることも同時に示される。

重要例題$021$