数学検定$1$級は数Ⅲまで相当の数学の基本トピックに関して取り扱った検定であり、統計学に必要な数学を身につける際の指標に役に立ちます。当記事では「日本数学検定協会 監修」の「数学検定問題集 $1$級」より、第$2$章の「線形代数」の解説と演習問題の解答例などを取り扱いました。
・数学検定まとめ
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①ベクトル・$3$次元図形
計算技能問題
問題.$1$
$$
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\begin{align}
\mathbf{e}_{1} &= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), \quad \mathbf{e}_{2} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right), \quad \mathbf{e}_{3} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \\
\mathbf{a} &= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
$\mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}, \mathbf{a}, \alpha, \beta, \gamma$に関して下記の式が成立する。
$$
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\begin{align}
\mathbf{e}_{1} \cdot \mathbf{a} &= |\mathbf{e}_{1}| |\mathbf{a}| \cos{\alpha} \\
\mathbf{e}_{2} \cdot \mathbf{a} &= |\mathbf{e}_{2}| |\mathbf{a}| \cos{\beta} \\
\mathbf{e}_{3} \cdot \mathbf{a} &= |\mathbf{e}_{3}| |\mathbf{a}| \cos{\gamma}
\end{align}
$$
よって$\cos{\alpha}, \cos{\beta}, \cos{\gamma}$はそれぞれ下記のように計算できる。
・$\cos{\alpha}$
$$
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\begin{align}
\mathbf{e}_{1} \cdot \mathbf{a} &= |\mathbf{e}_{1}| |\mathbf{a}| \cos{\alpha} \\
\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \cos{\alpha} \\
\cos{\alpha} &= \frac{1}{\sqrt{14}}
\end{align}
$$
・$\cos{\beta}$
$$
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\begin{align}
\mathbf{e}_{2} \cdot \mathbf{a} &= |\mathbf{e}_{2}| |\mathbf{a}| \cos{\alpha} \\
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \cos{\beta} \\
\cos{\beta} &= \frac{2}{\sqrt{14}}
\end{align}
$$
・$\cos{\gamma}$
$$
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\begin{align}
\mathbf{e}_{3} \cdot \mathbf{a} &= |\mathbf{e}_{3}| |\mathbf{a}| \cos{\alpha} \\
\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) &= \sqrt{1^2+2^2+3^2} \cos{\gamma} \\
\cos{\gamma} &= \frac{3}{\sqrt{14}}
\end{align}
$$
問題.$2$
$$
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\begin{align}
\mathbf{a} &= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \\
\mathbf{b} &= \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
ベクトル$\mathbf{a}, \mathbf{b}$のなす角を$\theta$とおくとき、下記のように考えることができる。
$$
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\begin{align}
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos{\theta} \\
\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right) &= \sqrt{2^2+1^2+3^2} \times \sqrt{3^2+(-2)^2+1^2} \cos{\theta} \\
6-2+3 &= 14 \cos{\theta} \\
\cos{\theta} &= \frac{7}{14} \\
&= \frac{1}{2} \\
\theta &= \frac{\pi}{3}
\end{align}
$$
よってベクトル$\mathbf{a}, \mathbf{b}$のなす角は$\displaystyle \theta = \frac{\pi}{3}$である。
問題.$3$
問題.$4$
数理技能問題
問題.$1$
問題.$2$
問題.$3$
問題.$4$
問題.$5$
問題.$6$
②行列・$1$次変換
計算技能問題
問題.$1$
$$
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\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{array} \right), \quad B = \left( \begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・$[1]$
$A+B=X$より、$X$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
X &= A + B \\
&= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ -3 & 4 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{cc} 5 & 2 \\ 3 & -1 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} 6 & 4 \\ 0 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・$[2]$
$3X-A=X-2B$より、$X$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
3X – A &= X – 2B \\
2X &= A – 2B \\
X &= \frac{1}{2} (A – 2B) \\
&= \frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 1-10 & 2-4 \\ -3-6 & 4+2 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} \displaystyle -\frac{9}{2} & -1 \\ \displaystyle -\frac{9}{2} & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$