基本行列(elementary matrix)の判定と基本行列による行基本操作の確認

行基本変形は基本行列(elementary matrix)の積による操作によって表すことができるなど、基本行列はよく出てくるので抑えておくと良いです。当記事では基本行列の定義や基本行列かどうかの判定、基本行列と行基本変形の対応について取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$3$節「行列の構造」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

基本行列の概要

基本行列の定義

基本行列を下記の$[1]$〜$[3]$で定義する。

・$[1]$
基本行列$P_{ij}, \, i \neq j$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
P_{ij} &= \left(\begin{array}{ccccccccccc} 1 & & & & & & & & & & \\ & \ddots & & & & & & & & & \\ & & 1 & & & & & & & & \\ & & & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & p_{ij} & & & \\ & & & \vdots & 1 & & & \vdots & & & \\ & & & \vdots & & \ddots & & \vdots & & & \\ & & & \vdots & & & 1 & \vdots & & & \\ & & & p_{ji} & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & & & \\ & & & & & & & & 1 & & \\ & & & & & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & & & & 1 \end{array} \right) \quad (1) \\
p_{ij} &= p_{ji} = 1
\end{align}
$$

$(1)$式で$1$や$p_{ij}, p_{ji}$で表さなかった成分は全て$0$である。

・$[2]$
基本行列$P_i(c), \, c \neq 0$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
P_i(c) &= \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & & & & \\ & & & p_{ii} & & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array} \right) \quad (2) \\
p_{ii} &= c
\end{align}
$$

$(2)$式で$1$や$p_{ii}$で表さなかった成分は全て$0$である。

・$[3]$
基本行列$P_{ij}(a), \, i \neq j, \, a \neq 0$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
P_{ij}(a) &= \left(\begin{array}{ccccccc} 1 & & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1 & \cdots & p_{ij} & & \\ & & & \ddots & \vdots & & \\ & & & & 1 & & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{array} \right) \quad (3) \\
p_{ij} &= a
\end{align}
$$

$(2)$式で$1$や$p_{ij}$で表さなかった成分は全て$0$である。

基本行列であるかの判定

前項の「基本行列の定義」に合致するかで判定を行えば良い。

基本行列と行基本変形の対応

$[1] \,$ $m \times n$行列$A$の$i$行と$j$列を入れ替える操作は$m$次の基本行列$P_{ij}$を用いて$P_{ij}A$を計算することに一致する。
$[2] \,$ $m \times n$行列$A$の$i$行を$c$倍する操作は$m$次の基本行列$P_{ii}(c)$を用いて$P_{ii}(c)A$を計算することに一致する。
$[3] \,$ $m \times n$行列$A$の$i$行に$j$行の$a$倍を加える操作は$m$次の基本行列$P_{ij}(a)$を用いて$P_{ij}(a)A$を計算することに一致する。

基本行列の具体例の確認

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$038$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記は基本行列$P_{12}$に対応する。

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記は基本行列$P_{21}(1)$に対応する。

・$[3]$
$$
\large
\begin{align}
\left(\begin{array}{cccc} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記は基本行列$P_{11}(2)$に対応する。

・$[4]$
$$
\large
\begin{align}
\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記は基本行列ではない。

基本例題$039$

$[1]$
$$
\large
\begin{align}
X &= \left(\begin{array}{cccc} 4 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 & 2 \end{array} \right) \\
P_{12} &= \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記より$P_{12} X$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
P_{12} X &= \left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left(\begin{array}{cccc} 4 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 & 2 \end{array} \right) \\
&= \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -4 & 2 \\ 4 & -1 & 3 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$

「行列の$1$行目と$2$行目を入れ替えることが、行列に基本行列$P_{12}$を左からかけることに対応する」ことが上記の例では確認できる。