行基本変形は基本行列(elementary matrix)の積による操作によって表すことができるなど、基本行列は
よく出てくるので抑えておくと良いです。当記事では基本変形・基本行列(elementary matrix)の行列式(determinant)の計算について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$3$節「行列の構造」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
Contents
基本行列の積と行列式
行列の積の行列式
行列$A$と$B$の積$AB$の行列式$\det{(AB)}$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\det{(AB)} = \det{(A)} \det{(B)} \quad (1.1)
\end{align}
$$
基本行列の行列式
基本行列$P_{ij}, P_{i}(c), P_{ij}(a)$の行列式はそれぞれ下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
\det{(P_{ij})} &= -1 \\
\det{(P_{i}(c))} &= c \\
\det{(P_{ij}(a))} &= 1
\end{align}
$$
基本行列の定義については下記で詳しく取り扱った。
基本行列の積と行列式
$(1.1)$式と「基本行列の行列式」を元に計算することができる。
行列式の多重線形性・交代性
行列式の還元定理
具体例の確認
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$065$
・$[1]$
行列$A$の$i$列目と$j$列目を入れ替えた行列は$AP_{ij}$のように表される。$AP_{ij}$の行列式$\det{(AP_{ij})}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\det{(AP_{ij})} &= \det{(A)} \det{(P_{ij})} \\
&= -\det{(A)}
\end{align}
$$
・$[2]$
行列$A$の$i$列目を$c$倍した行列は$AP_{i}(c)$のように表される。$AP_{i}(c)$の行列式$\det{(AP_{i}(c))}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\det{(AP_{i}(c))} &= \det{(A)} \det{(P_{i}(c))} \\
&= c \det{(A)}
\end{align}
$$
・$[3]$
行列$A$の$i$列目と$j$列目を入れ替えた行列は$AP_{ij}(a)$のように表される。$AP_{ij}(a)$の行列式$\det{(AP_{ij})}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\det{(AP_{ij}(a))} &= \det{(A)} \det{(P_{ij}(a))} \\
&= \det{(A)}
\end{align}
$$
基本例題$066$
(1)
・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
A = \left(\begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{i} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{j} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right) \quad (2.1)
\end{align}
$$
上記のように定義される$n$次正方行列について行列式の行交代性から下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\det{ \left(\begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{j} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{i} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right) } = -\det{ \left(\begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{i} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{j} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right) } = -\det{(A)}
\end{align}
$$
・$[2]$
$(2.1)$式で定義される$n$次正方行列$A$について行列式の行多重線形性から下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\det{ \left(\begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ c \mathbf{a}_{i} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right) } = c\det{ \left(\begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{i} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right) } = c \det{(A)}
\end{align}
$$
・$[3]$
$(2.1)$式で定義される$n$次正方行列$A$について行列式の行多重線形性と行交代性から下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\det{ \left(\begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{i} + c \mathbf{a}_{j} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{j} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right) } &= \det{ \left(\begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{i} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{j} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right) } + c \det{ \left(\begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{j} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{j} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right) } \\
&= \det{(A)}
\end{align}
$$
(2)
列多重線形性と列交代性を用いて基本例題$066 \, (1)$と同様に示すことができる。
基本例題$067$
・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 9 & 27 \\ -1 & 1 & -1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
下記のように行列式を計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
\left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 9 & 27 \\ -1 & 1 & -1 \end{array} \right| &= -\left| \begin{array}{ccc} -1 & 1 & -1 \\ 3 & 9 & 27 \\ 1 & 2 & 4 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 3 & 9 & 27 \\ 1 & 2 & 4 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 12 & 24 \\ 0 & 3 & 3 \end{array} \right| \\
&= 12 \left| \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 3 \end{array} \right| \\
&= 12 \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 3 \end{array} \right| \\
&= 12 (3-6) = -36
\end{align}
$$
・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & 6 & 4 \end{array} \right)
\end{align}
$$
下記のように行列式を計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
\left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & 6 & 4 \end{array} \right| &= \left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 2 & 4 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 4 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{array} \right| \\
&= 1
\end{align}
$$
・$[3]$
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 7 & 2 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
下記のように行列式を計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
\left| \begin{array}{cccc} 2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 7 & 2 & 0 \end{array} \right| &= -\left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 5 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \\ 0 & 7 & 2 & 0 \end{array} \right| \\
&= -\left| \begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 5 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & -7 \\ 0 & 7 & 2 & 0 \end{array} \right| \\
&= -\left| \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & -7 \\ 7 & 2 & 0 \end{array} \right| \\
&= -\left| \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 0 \\ 0 & -15 & -7 \\ 0 & -33 & 0 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 0 \\ 0 & 15 & 7 \\ 0 & -33 & 0 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{cc} 15 & 7 \\ -33 & 0 \end{array} \right| \\
&= -231
\end{align}
$$