行列の各固有値(eigen value)に対応する固有ベクトル(eigen vector)を用いることで行列の対角化(diagonalization)を行うことが可能です。当記事ではユニタリ行列を用いたエルミート行列の対角化(diagonalization)について取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$8$章「固有値問題と行列の対角化」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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Contents
ユニタリ行列を用いたエルミート行列の対角化
標準内積と複素計量ベクトル空間
ユニタリ行列
行列$A$がユニタリ行列であるとき、ユニタリ行列の随伴行列$A^{*}$と単位行列$I$に関して下記が成立する。
$$
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\begin{align}
A A^{*} = A^{*} A = I
\end{align}
$$
上記より$A^{*}=A^{-1}$も同時に成立する。
エルミート行列
$n$次正方行列$A=(a_{ij})$を考え、$a_{ij}$の複素共役を$\overline{a_{ij}}$のように定める。このとき$a_{ij}=\overline{a_{ji}}$が成立する場合$A$はエルミート行列であるといい、$A^{*}=A$のように表す。
対角成分に関しては$a_{ii}=\overline{a_{ii}}$が成立するので、エルミート行列の対角成分が全て実数であることも抑えておくと良い。
テプリッツの定理
$A$が$n$次正方行列であるとき、「行列$A$がユニタリ行列で対角化できる」$\iff$「$A$が正規行列であり$A A^{*} = A^{*} A$」が成立する。
エルミート行列と正規行列
エルミート行列の定義より$A^{*}=A$が成立する。よって$A A^{*} = A^{2} = A^{*} A$が成立するのでエルミート行列は正規行列であり、テプリッツの定理が適用できる。
計算例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
重要例題$083$
$$
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\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} 3 & i & -1 \\ -i & 5 & i \\ -1 & -i & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
行列$A$の固有多項式を$F_{A}(t)=\det{(tI_{3} \, – \, A)}$とおくと、$F_{A}(t)$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
F_{A}(t) &= \det{(tI_{3} \, – \, A)} = \left| \begin{array}{ccc} t \, – \, 3 & -i & 1 \\ i & t \, – \, 5 & -i \\ 1 & i & t \, – \, 3 \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 0 & -i(t \, – 2) & -(t \, – \, 2)(t \, – \, 4) \\ 0 & t \, – \, 4 & -i(t \, – \, 2) \\ 1 & i & t \, – \, 3 \end{array} \right| \\
&= 1 \cdot (-1)^{1+3} \left| \begin{array}{cc} -i(t \, – 2) & -(t \, – \, 2)(t \, – \, 4) \\ t \, – \, 4 & -i(t \, – \, 2) \end{array} \right| \\
&= i^{2}(t \, – \, 2)^{2} + (t \, – \, 2)(t \, – \, 4)^{2} \\
&= -(t \, – \, 2)^{2} + (t \, – \, 2)(t^{2} \, – \, 8t + 16) \\
&= (t \, – \, 2)(t^{2} \, – \, 8t + 16 \, – \, (t \, – \, 2)) \\
&= (t \, – \, 2)(t^{2} \, – \, 9t + 18) \\
&= (t \, – \, 2)(t \, – \, 3)(t \, – \, 6)
\end{align}
$$
上記より、行列$A$の固有値は$2, \, 3, \, 6$である。以下、それぞれの固有値について長さ$1$の固有ベクトルを求める。
・固有値が$2$のとき
行列$A \, – 2I_{3}$は下記のように行基本変形を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
A \, – 2I_{3} &= \left( \begin{array}{ccc} 1 & i & -1 \\ -i & 3 & i \\ -1 & -i & 1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & i & -1 \\ -i & 3 & i \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & i & -1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & i & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より固有値$2$に対応する長さ$1$の固有ベクトルを$\mathbf{u}_{1}$とおくと、$\mathbf{u}_{1}$は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
\mathbf{u}_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・固有値が$3$のとき
行列$A \, – 3I_{3}$は下記のように行基本変形を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
A \, – 3I_{3} &= \left( \begin{array}{ccc} 0 & i & -1 \\ -i & 2 & i \\ -1 & -i & 0 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & i & 0 \\ -i & 2 & i \\ 0 & i & -1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & i & 0 \\ 0 & 1 & i \\ 0 & i & -1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & i \\ 0 & i & -1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & i \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より固有値$3$に対応する長さ$1$の固有ベクトルを$\mathbf{u}_{3}$とおくと、$\mathbf{u}_{3}$は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
\mathbf{u}_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \begin{array}{c} -1 \\ -i \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
・固有値が$6$のとき
行列$A \, – 6I_{3}$は下記のように行基本変形を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
A \, – 3I_{3} &= \left( \begin{array}{ccc} -3 & i & -1 \\ -i & -1 & i \\ -1 & -i & -3 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & i & 3 \\ i & 1 & -i \\ 3 & -i & -3 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & i & 3 \\ 0 & 2 & -4i \\ 0 & -4i & -8 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & i & 3 \\ 0 & 1 & -2i \\ 0 & i & 2 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2i \\ 0 & i & 2 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2i \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より固有値$6$に対応する長さ$1$の固有ベクトルを$\mathbf{u}_{3}$とおくと、$\mathbf{u}_{3}$は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
\mathbf{u}_{3} = \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \begin{array}{c} -1 \\ 2i \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
ここで$\displaystyle U=\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{u}_{1} & \mathbf{u}_{2} & \mathbf{u}_{3} \end{array} \right)$とおくと、$U$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
U = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{u}_{1} & \mathbf{u}_{2} & \mathbf{u}_{3} \end{array} \right) = \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & -\sqrt{2} & -1 \\ 0 & -\sqrt{2}i & 2i \\ \sqrt{3} & \sqrt{2} & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記の$U$はユニタリ行列であり、下記のように$A$の対角化を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
U^{*} A U &= \frac{1}{6} \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & -\sqrt{2} & -1 \\ 0 & \sqrt{2}i & -2i \\ \sqrt{3} & \sqrt{2} & 1 \end{array} \right)^{\mathrm{T}} \left( \begin{array}{ccc} 3 & i & -1 \\ -i & 5 & i \\ -1 & -i & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & -\sqrt{2} & -1 \\ 0 & -\sqrt{2}i & 2i \\ \sqrt{3} & \sqrt{2} & 1 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{6} \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & 0 & \sqrt{3} \\ -\sqrt{2} & \sqrt{2}i & \sqrt{2} \\ -1 & -2i & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 3 & i & -1 \\ -i & 5 & i \\ -1 & -i & 3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & -\sqrt{2} & -1 \\ 0 & -\sqrt{2}i & 2i \\ \sqrt{3} & \sqrt{2} & 1 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{6} \left( \begin{array}{ccc} 2\sqrt{3} & 0 & 2\sqrt{3} \\ -3\sqrt{2} & 3\sqrt{2}i & 3\sqrt{2} \\ -6 & -12i & 6 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} \sqrt{3} & -\sqrt{2} & -1 \\ 0 & -\sqrt{2}i & 2i \\ \sqrt{3} & \sqrt{2} & 1 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{6} \left( \begin{array}{ccc} 12 & 0 & 0 \\ 0 & 18 & 0 \\ 0 & 0 & 36 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{array} \right)
\end{align}
$$