行列の対角化② 交代行列の対角化(diagonalization)

行列の各固有値(eigen value)に対応する固有ベクトル(eigen vector)を用いることで行列の対角化(diagonalization)を行うことが可能です。当記事では交代行列の対角化(diagonalization)について取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$8$章「固有値問題と行列の対角化」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

交代行列の対角化

交代行列

行列$A=(a_{ij})$の随伴行列(Adjoint matrix)を$A^{*}=(\overline{a_{ji}})$のように定義する。

随伴行列(Adjoint matrix)の定義と随伴行列の性質

このとき、正規行列・歪エルミート行列・交代行列は下記のような式で定義される。

名称	成立する式
正規行列	$AA^{*}=A^{*}A$
歪エルミート行列	$A^{*}=-A$
交代行列	$A^{\mathrm{T}}=-A$

$A^{*}=-A$のとき$AA^{*}=-A^{2}=A^{*}A$、$A^{\mathrm{T}}=-A$のとき$AA^{*}=AA^{\mathrm{T}}=-A^{2}=A^{\mathrm{T}}A=A^{*}A$が成立するので歪エルミート行列と交代行列はどちらも正規行列である。また、交代行列は要素が実数の歪エルミート行列である¹。

テプリッツの定理

$A$が$n$次正方行列であるとき、「行列$A$がユニタリ行列で対角化できる」$\iff$「$A$が正規行列である」が成立する。

標準内積と複素計量ベクトル空間

$\mathbb{C}$上の$n$次元ベクトル空間$\mathbb{C}^{n}$の$2$つのベクトル$\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{C}^{n}$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{u} = \left( \begin{array}{c} u_{1} \\ \vdots \\ u_{n} \end{array} \right), \quad \mathbf{v} = \left( \begin{array}{c} v_{1} \\ \vdots \\ v_{n} \end{array} \right)
\end{align}
$$

このとき、$\mathbb{C}^{n}$上の標準内積$(\mathbf{u}, \mathbf{v})$が下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \overline{\mathbf{v}}^{\mathrm{T}} \mathbf{u} = \sum_{i=1}^{n} u_{i} \overline{v_{i}}
\end{align}
$$

上記のように$\mathbb{C}^{n}$上の標準内積$(\mathbf{u}, \mathbf{v})$を元に定義される計量ベクトル空間を複素計量ベクトル空間という。標準内積$(\mathbf{u}, \mathbf{v})$はベクトルの正規化を行う際などに用いられる。

複素数体におけるベクトル空間上の標準内積(inner product)の定義とその性質

計算例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$158$

$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$

行列$A$の固有多項式を$F_{A}(t)=\det{(tI_{3} \, – \, A)}$とおくと、$F_{A}(t)$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
F_{A}(t) &= \det{(tI_{3} \, – \, A)} = \left| \begin{array}{ccc} t & 1 & 2 \\ -1 & t & 2 \\ -2 & -2 & t \end{array} \right| \\
&= \left| \begin{array}{ccc} 0 & t^{2}+1 & 2(t+1) \\ -1 & t & 2 \\ 0 & -2(t+1) & t-4 \end{array} \right| \\
&= (-1) \cdot (-1)^{2+1} \left| \begin{array}{cc} t^{2}+1 & 2(t+1) \\ -2(t+1) & t-4 \end{array} \right| \\
&= (t^{2}+1)(t \, – \, 4) + 4(t+1)^{2} \\
&= t^{3} \, – \, \cancel{4t^{2}} + t \, – \, \cancel{4} + \cancel{4t^{2}} + 8t + \cancel{4} \\
&= t^{3} + 9t \\
&= t(t^{2} + 9)
\end{align}
$$

上記より、行列$A$の固有値は$0, \, 3i \, -3i$である。以下、それぞれの固有値について長さ$1$の固有ベクトルを求める。

・固有値が$0$のとき
行列$A$は下記のように行基本変形を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \end{array} \right) & \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記より固有値$0$に対応する長さ$1$の固有ベクトルを$\mathbf{u}_{1}$とおくと、$\mathbf{u}_{1}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{u}_{1} = \frac{1}{3} \left( \begin{array}{c} 2 \\ -2 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

・固有値が$3i$のとき
行列$A \, – \, 3i I_{3}$は下記のように行基本変形を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} -3i & -1 & -2 \\ 1 & -3i & -2 \\ 2 & 2 & -3i \end{array} \right) & \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & -3i & -2 \\ 2 & 2 & -3i \\ -3i & -1 & -2 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & -3i & -2 \\ 0 & 2+6i & 4 \, – \, 3i \\ 0 & 8 & -2 \, – \, 6i \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & -3i & -2 \\ 0 & 8 & -2 \, – \, 6i \\ 0 & 2+6i & 4 \, – \, 3i \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & -3i & -2 \\ 0 & 1 & \displaystyle -\frac{1+3i}{4} \\ 0 & 2+6i & 4 \, – \, 3i \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & -3i & -2 \\ 0 & 1 & \displaystyle -\frac{1+3i}{4} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \displaystyle \frac{1 \, – \, 3i}{4} \\ 0 & 1 & \displaystyle -\frac{1+3i}{4} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \displaystyle -\frac{3i \, – \, 1}{4} \\ 0 & 1 & \displaystyle -\frac{3i+1}{4} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記より固有値$3i$に対応する長さ$1$の固有ベクトルを$\mathbf{u}_{2}$とおくと、$\mathbf{u}_{2}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{u}_{2} = \frac{1}{6} \left( \begin{array}{c} 3i \, – \, 1 \\ 3i+1 \\ 4 \end{array} \right)
\end{align}
$$

・固有値が$-3i$のとき
行列$A + 3i I_{3}$は下記のように行基本変形を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} 3i & -1 & -2 \\ 1 & 3i & -2 \\ 2 & 2 & 3i \end{array} \right) & \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3i & -2 \\ 3i & -1 & -2 \\ 2 & 2 & 3i \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3i & -2 \\ 0 & 8 & -2+6i \\ 0 & 2 \, – \, 6i & 4+3i \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3i & -2 \\ 0 & 1 & \displaystyle \frac{3i \, – \, 1}{4} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & \displaystyle \frac{3i+1}{4} \\ 0 & 1 & \displaystyle \frac{3i \, – \, 1}{4} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記より固有値$-3i$に対応する長さ$1$の固有ベクトルを$\mathbf{u}_{3}$とおくと、$\mathbf{u}_{3}$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{u}_{3} = \frac{1}{6} \left( \begin{array}{c} -3i \, – \, 1 \\ -3i+1 \\ 4 \end{array} \right)
\end{align}
$$

ここで$\displaystyle U=\left( \begin{array}{ccc} \mathbf{u}_{1} & \mathbf{u}_{2} & \mathbf{u}_{3} \end{array} \right)$とおくと、$U$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
U = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{u}_{1} & \mathbf{u}_{2} & \mathbf{u}_{3} \end{array} \right) = \frac{1}{6} \left( \begin{array}{ccc} 4 & 3i \, – \, 1 & -3i \, – \, 1 \\ -4 & 3i+1 & -3i+1 \\ 2 & 4 & 4 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記の$U$はユニタリ行列であり、下記のように$A$の対角化を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
U^{*} A U &= \frac{1}{6^{2}} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -3i \, – \, 1 & 3i \, – \, 1 \\ -4 & -3i+1 & 3i+1 \\ 2 & 4 & 4 \end{array} \right)^{\mathrm{T}} \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 3i \, – \, 1 & -3i \, – \, 1 \\ -4 & 3i+1 & -3i+1 \\ 2 & 4 & 4 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{6^{2}} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -4 & 2 \\ -3i \, – \, 1 & -3i+1 & 4 \\ 3i \, – \, 1 & 3i+1 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -2 \\ 2 & 2 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 3i \, – \, 1 & -3i \, – \, 1 \\ -4 & 3i+1 & -3i+1 \\ 2 & 4 & 4 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{6^{2}} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ -3i+9 & 3i+9 & 12i \\ 3i+9 & -3i+9 & -12i \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 3i \, – \, 1 & -3i \, – \, 1 \\ -4 & 3i+1 & -3i+1 \\ 2 & 4 & 4 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{2^{2} \times 3} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ -i+3 & i+3 & 4i \\ i+3 & -i+3 & -4i \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 4 & 3i \, – \, 1 & -3i \, – \, 1 \\ -4 & 3i+1 & -3i+1 \\ 2 & 4 & 4 \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{2^{2} \times 3} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 20i+16i & 0 \\ 0 & 0 & -20i \, – \, 16i \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3i & 0 \\ 0 & 0 & -3i \end{array} \right)
\end{align}
$$

1. 対称行列も$A=A^{\mathrm{T}}$より、$AA^{*}=AA^{\mathrm{T}}=A^{2}=A^{\mathrm{T}}A=A^{*}A$であるので正規行列であることも合わせて抑えておくと良い。 ↩︎