線形代数を学ぶにあたって行列式(determinants)は固有値・固有ベクトルの導出にあたって出てくる固有多項式・固有方程式に出てくるなど、重要な概念です。当記事では行列式の計算によく用いられる行多重線形性と行交代性の式・導出とそれぞれの使用例について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$4$章「行列式」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
Contents
行多重線形性と交代性の導出
置換
行多重線形性の式
$n$次正方行列$A$をそれぞれの行に対応するベクトル$\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots , \mathbf{a}_{n}$を用いて下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \mathbf{a}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right)
\end{align}
$$
ここで$A$の$i$行目に対応する$\mathbf{a}_{i}$がベクトル$\mathbf{b}, \mathbf{c}$と実数$k, l \in \mathbb{R}$を用いて下記のように表せると仮定する。
$$
\large
\begin{align}
\mathbf{a}_{i} = k \mathbf{b} + l \mathbf{c}
\end{align}
$$
このとき、行列$A$の行列式$\det{(A)}$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\det{(A)} &= \det{ \left( \begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{i} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right)} \\
&= \det{ \left( \begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ k \mathbf{b} + l \mathbf{c} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right)} \\
&= k \det{ \left( \begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{b} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right)} + l \det{ \left( \begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{c} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right)} \quad (1.1)
\end{align}
$$
上記の$(1.1)$式を行列式の行多重線形性という。
行多重線形性の導出
行列$A=(a_{ij})$の行列式$\det{(A)}$は下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
\det{(A)} = \sum_{\sigma} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1 \sigma(1)} \cdots a_{i \sigma(i)} \cdots a_{n \sigma(n)} \quad (1.2)
\end{align}
$$
ここで行列$A$の$i$行の$\mathbf{a}_{i}$が$\mathbf{a}_{i}=k \mathbf{b} + l \mathbf{c}$のように表されるとき、$(1.2)$式は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\det{(A)} &= \sum_{\sigma} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1 \sigma(1)} \cdots a_{i \sigma(i)} \cdots a_{n \sigma(n)} \quad (1.2) \\
&= \sum_{\sigma} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1 \sigma(1)} \cdots (k b_{\sigma(i)} + l c_{\sigma(i)}) \cdots a_{n \sigma(n)} \\
&= k \sum_{\sigma} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1 \sigma(1)} \cdots b_{\sigma(i)} \cdots a_{n \sigma(n)} + l \sum_{\sigma} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1 \sigma(1)} \cdots c_{\sigma(i)} \cdots a_{n \sigma(n)}
\end{align}
$$
上記より、行多重線形性が成立することが示される。
行多重線形性は$A$の$i$行目を$\mathbf{b}$で置き換えた行列を$B$、$\mathbf{c}$で置き換えた行列を$C$とおいて$\det{(A)} = k\det{(B)} + l\det{(C)}$のように表すこともできる。
交代性の式
$n$次正方行列$A$をそれぞれの行に対応するベクトル$\mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, \cdots , \mathbf{a}_{n}$を用いて下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \mathbf{a}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right)
\end{align}
$$
ここで$i \neq j$である行列$A$の$i$行目と$j$行目を入れ替えた行列の行列式について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\det{ \left( \begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{j} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{i} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right) } = -\det{ \left( \begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{i} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{j} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right) } \quad (1.3)
\end{align}
$$
上記の$(1.3)$式を行列式の行交代性という。
交代性の導出
置換の使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$060$
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \mathbf{a}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right), \quad cA = \left( \begin{array}{c} c\mathbf{a}_{1} \\ c\mathbf{a}_{2} \\ \vdots \\ c\mathbf{a}_{n} \end{array} \right)
\end{align}
$$
$cA$は上記のように表されるので、行多重線形性を用いて$\det{(cA)}$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\det{(cA)} &= \det{ \left( \begin{array}{c} c\mathbf{a}_{1} \\ c\mathbf{a}_{2} \\ \vdots \\ c\mathbf{a}_{n} \end{array} \right) } \\
&= c \det{ \left( \begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ c\mathbf{a}_{2} \\ \vdots \\ c\mathbf{a}_{n} \end{array} \right) } \\
&= c^{2} \det{ \left( \begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \mathbf{a}_{2} \\ \vdots \\ c\mathbf{a}_{n} \end{array} \right) } \\
&= \cdots \cdots \\
&= c^{n} \det{ \left( \begin{array}{c} \mathbf{a}_{1} \\ \mathbf{a}_{2} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{n} \end{array} \right) } \\
&= c^{n} \det{(A)}
\end{align}
$$
上記より$\det{(cA)} = c^{n} \det{(A)}$が成立する。