連立方程式(simultaneous equation)の基本解法と行列を用いた表記

基本的な連立方程式(simultaneous equation)は中学数学などで取り扱いますが、線形代数では行列などを用いて連立方程式を表し高度な議論を行います。当記事では線形代数におけるトピックを取り扱うにあたって、連立方程式の基本解法と行列を用いた表記を取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$2.1$節「連立$1$次方程式と行列」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

連立方程式の基本解法と行列を用いた表記

連立$1$次方程式の具体例と基本解法

$$
\large
\begin{align}
\begin{cases}
x + y = 2 \quad (1) \\
x + 2y = 3 \quad (2)
\end{cases}
\end{align}
$$

連立$1$次方程式は上記のように複数の未知数$x, y$についての$1$式に基づく方程式である。上記は「$(2)$式$-$$(1)$式」を計算することで$y=1$が得られ、$(1)$式に$y=1$を代入することで$x=1$が得られる。このように式同士の加減を元に方程式を解く手法を加減法という。

連立方程式の行列を用いた表記

連立方程式は行列の積を用いて表すことができる。たとえば前項の「連立$1$次方程式の具体例と基本解法」の連立方程式は下記のように行列を用いて表せる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{c} x+y \\ x+2y \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{c} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

行列の積については下記などで詳しく取り扱った。

行列の基本事項まとめ 〜$2$次元正方行列の積、行列式、逆行列、固有値・固有ベクトル、対角化〜

拡大係数行列

行列を用いて表した連立$1$次方程式$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$で係数行列$\displaystyle A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right)$と定数項ベクトル$\displaystyle \mathbf{b} = \left( \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right)$を並べてできる下記の行列$(A \, | \, \mathbf{b})$を拡大係数行列という。
$$
\large
\begin{align}
(A|\mathbf{b}) = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right)
\end{align}
$$

具体例の確認

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$021$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
4x – y + 3z &= 0 \\
x + 2y – 4z &= 2
\end{align}
$$

上記の連立方程式は下記のように行列を用いて書き表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{c} 4x-y+3z \\ x+2y-4z \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right)
\end{align}
$$

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
-x + 2z &= 3 \\
2y + z &= 1
\end{align}
$$

上記の連立方程式は下記のように行列を用いて書き表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{c} -x + 2z \\ 2y + z \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{ccc} -1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

・$[3]$
$$
\large
\begin{align}
3x + y &= 3 \\
x – 2z &= 1 \\
x + y + z &= -1 \\
-x + 3y -5z &= 0
\end{align}
$$

上記の連立方程式は下記のように行列を用いて書き表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{c} 3x + y \\ x – 2z \\ x + y + z \\ -x + 3y -5z \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{c} 3 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & -5 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$

基本例題$022$

基本例題$023$

$$
\large
\begin{align}
-3x+2y+7z &= 8 \\
-x-2y-3z &= 0 \\
3x+y-3z &= 7
\end{align}
$$

上記の連立方程式は下記のように行列表記することができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{c} -3x+3y+7z \\ -x-2y-3z \\ 3x+y-3z \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ -7 \end{array} \right) \\
\left( \begin{array}{c} -3 & 3 & 7 \\ -1 & -2 & -3 \\ 3 & 1 & -3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ -7 \end{array} \right) \quad (1)
\end{align}
$$

$(1)$式の拡大係数行列は行基本変形を元に下記のように簡約階段化を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{c} -3 & 3 & 7 \\ -1 & -2 & -3 \\ 3 & 1 & -3 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ -7 \end{array} \right) & \longrightarrow \left( \begin{array}{c} -3 & 3 & 7 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -3 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 8 \\ 0 \\ -7 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ -3 & 3 & 7 \\ 3 & 1 & -3 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ -7 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 8 & 16 \\ 0 & -5 & -12 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ -7 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{c} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -5 & -12 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ -7 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{c} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -2 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ -2 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{c} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記より連立方程式の解は$x=-1, y=-1, z=1$である。