空間ベクトルのベクトル方程式(Vector equation)を用いることで直線・平面を表現することができます。当記事ではベクトル方程式を用いて直線・平面を定義し、式変形を行うことで$x,y,z$を用いた直線や平面の式表現について確認を行います。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$5.3$節「基底と次元」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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ベクトル方程式と直線・平面
空間ベクトル
$$
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\begin{align}
\mathbf{a} = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \in \mathbb{R}^{3}
\end{align}
$$
空間ベクトル$\mathbf{a} \in \mathbb{R}^{3}$を上記のように定義する。
平面の方程式の導出
$$
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\begin{align}
\mathbf{u} = \left[\begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array} \right], \, \mathbf{v} = \left[\begin{array}{c} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{array} \right], \, \mathbf{w} = \left[\begin{array}{c} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{array} \right]
\end{align}
$$
上記のように定義されるベクトル$\mathbf{u}, \, \mathbf{v}, \, \mathbf{w}$を元に下記のように平面を表すベクトル$\mathbf{a}$を定義する。
$$
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\begin{align}
\mathbf{a} &= \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] \\
\mathbf{a} &= \mathbf{u} + s \mathbf{v} + t \mathbf{w}, \quad s, t \in \mathbb{R}
\end{align}
$$
このとき上記より下記のような空間内の平面の方程式が得られる。
$$
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\begin{align}
& \alpha(x-u_1) + \beta(y-u_2) + \gamma(z-u_3) = 0 \quad (1) \\
& \alpha = v_2 w_3 – v_3 w_2, \, \beta = v_3 w_1 – v_1 w_3, \, \gamma = v_1 w_2 – v_2 w_1 \quad (2)
\end{align}
$$
ここでベクトル$\displaystyle \left[\begin{array}{c} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array} \right]$は$\mathbf{v}$と$\mathbf{w}$の外積$\mathbf{v} \times \mathbf{w}$かつ$\mathbf{a}$が表す平面の法線ベクトルに対応する。外積は下記で取り扱った。
ベクトル空間の使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$101$
$[1]$
直線を表すベクトルを$\mathbf{a} \in \mathbb{R}^{3}$とおくと、$\mathbf{a}$は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
\mathbf{a} = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right] + t \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right]
\end{align}
$$
上記より$x-1=y-3=z-2$も得られる。また、$t=2$のとき、下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\mathbf{a} = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] &= \left[\begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 2 \end{array} \right] + 2 \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 4 \end{array} \right]
\end{align}
$$
上記より直線が点$(2,5,4)$を通ることが確認できる。
$[2]$
直線を表すベクトルを$\mathbf{a} \in \mathbb{R}^{3}$とおくと、$\mathbf{a}$は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
\mathbf{a} = \left[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right] &= \left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] + t \left( \left[\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 5 \end{array} \right] – \left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] \right) \\
&= \left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right] + t \left[\begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 3 \end{array} \right]
\end{align}
$$
上記より$\displaystyle x-1 = \frac{y+1}{5} = \frac{z-2}{3}$も得られる。
基本例題$102$
$$
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\begin{align}
\overrightarrow{OA} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right], \, \overrightarrow{OB} = \left[\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right], \, \overrightarrow{OC} = \left[\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -5 \end{array} \right]
\end{align}
$$
上記より、$\overrightarrow{AB}, \, \overrightarrow{AC}$はそれぞれ下記のように得られる。
$$
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\begin{align}
\overrightarrow{AB} &= \overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} \\
&= \left[\begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right] – \left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ -2 \end{array} \right] \\
\overrightarrow{AC} &= \overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OA} \\
&= \left[\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -5 \end{array} \right] – \left[\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 3 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ -8 \end{array} \right]
\end{align}
$$
$(2)$式に基づいて法線ベクトル$\displaystyle \left[\begin{array}{c} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array} \right]$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\left[\begin{array}{c} \alpha \\ \beta \\ \gamma \end{array} \right] &= \left[\begin{array}{c} v_2 w_3 – v_3 w_2 \\ v_3 w_1 – v_1 w_3 \\ v_1 w_2 – v_2 w_1 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} 2 \cdot (-8) – (-2) \cdot 4 \\ (-2) \cdot 2 – (-3) \cdot (-8) \\ (-3) \cdot 4 – 2 \cdot 2 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} -8 \\ -28 \\ -16 \end{array} \right]
\end{align}
$$
上記より平面の方程式は下記のように得られる。
$$
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\begin{align}
-8(x-1) – 28(y+2) -16(z-3) &= 0 \\
2(x-1) + 7(y+2) + 4(z-3) &= 0 \\
2x + 7y + 4z &= 0
\end{align}
$$