ベクトルの外積(outer product)の定義と関連して成立する式の導出

ベクトルの外積(outer product)は二つのベクトル$\mathbf{v},\mathbf{w}$に直交し、長さが$\mathbf{v},\mathbf{w}$が作る平行四辺形の面積に等しいベクトルを計算する考え方です。当記事ではベクトルの外積の定義と外積に関連して成り立つ式の導出に関して取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$7$章「内積」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

外積の概要

外積の定義

$\mathbb{R}^{3}$の$2$つのベクトル$\mathbf{a},\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{3}$を下記のように定義する。
$$
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\begin{align}
\mathbf{a} &= \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \\
\mathbf{b} &= \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記の$\mathbf{a},\mathbf{b} \in \mathbb{R}^{3}$に対し、外積$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$を下記のように定義する。
$$
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\begin{align}
\mathbf{a} \times \mathbf{b} &= \left( \begin{array}{c} \left| \begin{array}{cc} a_2 & b_2 \\ a_3 & b_3 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} a_3 & b_3 \\ a_1 & b_1 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{array} \right| \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} a_2b_3-b_2a_3 \\ a_3b_1-b_3a_1 \\ a_1b_2-b_1a_2 \end{array} \right)
\end{align}
$$

また、外積はベクトル積といわれることもある。

外積に関連する式の証明

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$150$

$$
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\begin{align}
\mathbf{v} &= \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array} \right) \\
\mathbf{v}’ &= \left( \begin{array}{c} c’_1 \\ c’_2 \\ c’_3 \end{array} \right) \\
\mathbf{w} &= \left( \begin{array}{c} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記のように$\mathbf{v}, \mathbf{v}’, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^{3}$を定めると、以下が成立する。
$$
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\begin{align}
\mathbf{v} \times \mathbf{w} &= -\mathbf{w} \times \mathbf{v} \quad (a) \\
(a\mathbf{v}+b\mathbf{v}’) \times \mathbf{w} &= a\mathbf{v} \times \mathbf{w} + b \mathbf{v}’ \times \mathbf{w} \quad (b)
\end{align}
$$

上記の$(a),(b)$が成立することを以下示す。

・$(a) \quad \mathbf{v} \times \mathbf{w} = -\mathbf{w} \times \mathbf{v}$
$$
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\begin{align}
\mathbf{v} \times \mathbf{w} &= \left( \begin{array}{c} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} \left| \begin{array}{cc} c_2 & d_2 \\ c_3 & d_3 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} c_3 & d_3 \\ c_1 & d_1 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} c_1 & d_1 \\ c_2 & d_2 \end{array} \right| \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} c_2d_3-d_2c_3 \\ c_3d_1-d_3c_1 \\ c_1d_2-d_1c_2 \end{array} \right) \\
&= – \left( \begin{array}{c} d_2c_3-c_2d_3 \\ d_3c_1-c_3d_1 \\ d_1c_2-c_1d_2 \end{array} \right) \\
&= – \mathbf{w} \times \mathbf{v}
\end{align}
$$

・$(a\mathbf{v}+b\mathbf{v}’) \times \mathbf{w} = a\mathbf{v} \times \mathbf{w} + b \mathbf{v}’ \times \mathbf{w}$
$$
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\begin{align}
(a\mathbf{v}+b\mathbf{v}’) \times \mathbf{w} &= \left( \begin{array}{c} ac_1+bc’_1 \\ ac_2+bc’_2 \\ ac_3+bc’_3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} (ac_2+bc’_2)d_3-d_2(ac_3+bc’_3) \\ (ac_3+bc’_3)d_1-d_3(ac_1+bc’_1) \\ (ac_1+bc’_1)d_2-d_1(ac_2+bc’_2) \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} (ac_2)d_3-d_2(ac_3) \\ (ac_3)d_1-d_3(ac_1) \\ (ac_1)d_2-d_1(ac_2) \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} (bc’_2)d_3-d_2(bc’_3) \\ (bc’_3)d_1-d_3(bc’_1) \\ (bc’_1)d_2-d_1(bc’_2) \end{array} \right) \\
&= a \left( \begin{array}{c} c_2d_3-d_2c_3 \\ c_3d_1-d_3c_1 \\ c_1d_2-d_1c_2 \end{array} \right) + b \left( \begin{array}{c} c’_2d_3-d_2c’_3 \\ c’_3d_1-d_3c’_1 \\ c’_1d_2-d_1c’_2 \end{array} \right) \\
&= a\mathbf{v} \times \mathbf{w} + b \mathbf{v}’ \times \mathbf{w}
\end{align}
$$

上記で示した$(a)$を交代性、$(b)$を線形性ということも合わせて抑えておくと良い。

基本例題$151$

$$
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\begin{align}
\mathbf{e}_{1} &= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \\
\mathbf{e}_{2} &= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) \\
\mathbf{e}_{3} &= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記のように定めた$\mathbf{e}_{1},\mathbf{e}_{2},\mathbf{e}_{3}$に対して下記のように$\mathbf{e}_{1} \times \mathbf{e}_{2}$や$\mathbf{e}_{2} \times \mathbf{e}_{3}$、$\mathbf{e}_{3} \times \mathbf{e}_{1}$の計算を行うことができる。
$$
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\begin{align}
\mathbf{e}_{1} \times \mathbf{e}_{2} &= \left( \begin{array}{c} \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right| \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) = \mathbf{e}_{3} \\
\mathbf{e}_{2} \times \mathbf{e}_{3} &= \left( \begin{array}{c} \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) = \mathbf{e}_{1} \\
\mathbf{e}_{3} \times \mathbf{e}_{1} &= \left( \begin{array}{c} \left| \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right| \\ \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array} \right| \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) = \mathbf{e}_{2}
\end{align}
$$