基本的な連立方程式(simultaneous equation)は中学数学などで取り扱いますが、線形代数では行列などを用いて連立方程式を表し高度な議論を行います。当記事では線形代数におけるトピックを取り扱うにあたって、連立方程式が解を持つ条件について取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$2.3$節「連立$1$次方程式とその解」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
連立方程式が解を持つ条件と解の自由度
$$
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\begin{align}
A \mathbf{x} &= \mathbf{b} \\
A & \in \mathbb{R}^{m \times n}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}, \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{n}
\end{align}
$$
上記のような連立方程式$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$を定義するとき、下記がそれぞれ成立する。
$[1] \,$ $\mathrm{rank}{A}=\mathrm{rank}{(A \, | \, \mathbf{b})} \, \iff \,$連立$1$次方程式が解を持つ
$[2] \,$ $[1]$が成立するとき、連立$1$次方程式の解の自由度は$n – \mathrm{rank}{A}$である
具体例の確認
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$035$
・$[1]$
$$
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\begin{align}
2x – 5y + 3z &= 7 \\
x – 3y + 2z &= 1 \\
4x – 5y + z &= 18
\end{align}
$$
上記は$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 2 & -5 & \\ 1 & -3 & 2 \\ 4 & -5 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 18 \end{array} \right)$のように行列表記することができ、この拡大係数行列の$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 2 & -5 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 4 & -5 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 18 \end{array} \right)$は下記のように簡約階段化できる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} 2 & -5 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \\ 4 & -5 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 7 \\ 1 \\ 18 \end{array} \right) & \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 2 \\ 2 & -5 & 3 \\ 4 & -5 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 1 \\ 7 \\ 18 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 7 & -7 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 14 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 9 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & -3 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より与えられた連立方程式は$x-z=0, y-z=0, 0=1$と同値であるが、$0 \neq 1$であるので連立$1$次方程式は解を持たない。