行列の簡約階段形(reduced echelon form)は一通りに決まるので行列の階数(rank)の同様に一通りに決定されます。当記事では行列の簡約階段化に基づく行列の階数の判定の手順と「チャート式 線形代数」の演習問題を元に具体例を取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$2.3$節「連立$1$次方程式とその解」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
行列の階数
行列$A$の簡約階段形の階段の段の個数を行列$A$の階数(rank)といい、$\mathrm{rank}{A}$のように表記する。
具体例の確認
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$031$
・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記の行列は下記のように簡約階段化できる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) & \longrightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より行列の階数(rank)は$2$である。
・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記の行列は下記のように簡約階段化できる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) & \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より行列の階数(rank)は$2$である。