行列の標準形は階段形から行基本変形を行なって導出した簡約階段形(reduced echelon form)に列基本変形を行うことで得ることができます。当記事では列基本変形を用いた簡約階段形から標準形への変換などについて、概要と具体例を取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$3$節「行列の構造」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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Contents
簡約階段形の概要
標準形の定義
$m \times n$行列$A$について$r=\mathrm{rank}A$であるとき、行列$A$に行基本変形と列基本変形を行うことで下記の行列$X$に変形することができる。
$$
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\begin{align}
X &= \left(\begin{array}{ccccccc} x_{11} & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & x_{22} & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & x_{rr} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right) \\
x_{ii} &= 1, \, i \leq r
\end{align}
$$
$A$に行基本変形と列基本変形を行うことで得られる上記の$X$の形式の行列を行列$A$の標準形という。
行列の標準形への変形
標準形の取得にあたっては行基本変形によって簡約階段形に変形し、簡約階段形に列基本変形を行えばよい。簡約階段形については下記で詳しく取り扱った。
簡約階段形から標準形を得るにあたっては列の入れ替えによって、対角成分に$r=\mathrm{rank}A$個の$1$を並べ、それ以外の列は掃き出し法の要領で全ての要素が$0$になるように変形すればよい。
簡約階段形の判定法と簡約階段化の手順の具体例の確認
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$044$
$(1)$
$$
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\begin{align}
\left(\begin{array}{cccc} 4 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 & 2 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記の行列は下記のように行基本変形を元に簡約階段化できる。
$$
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\begin{align}
\left(\begin{array}{cccc} 4 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & -4 & 2 \end{array} \right) & \rightarrow \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -4 & 2 \\ 4 & -1 & 3 & 0 \end{array} \right) \rightarrow \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -4 & 2 \\ 0 & -9 & 19 & -8 \end{array} \right) \\
& \rightarrow \left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & -4 & 2 \\ 0 & 1 & \displaystyle -\frac{19}{9} & \displaystyle \frac{8}{9} \end{array} \right) \rightarrow \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \displaystyle \frac{2}{9} & \displaystyle \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & \displaystyle -\frac{19}{9} & \displaystyle \frac{8}{9} \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記について列基本変形を行うことで下記のような標準形が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \displaystyle \frac{2}{9} & \displaystyle \frac{2}{9} \\ 0 & 1 & \displaystyle -\frac{19}{9} & \displaystyle \frac{8}{9} \end{array} \right) \rightarrow \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \displaystyle -\frac{19}{9} & \displaystyle \frac{8}{9} \end{array} \right) \rightarrow \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$