二次形式(quadratic form)と対称行列(symmetric matrix)の対応

$n$個の変数についての$2$次の単項式$x_i, x_j$の実数係数の$1$次結合の式を$2$次形式といいます。当記事では二次形式(quadratic form)と対称行列(symmetric matrix)の対応について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$8$章「固有値問題と行列の対角化」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

$2$次形式と対称行列の対応

対称行列

行列$A$と$A$の転置行列$A^{\mathrm{T}}$について$A^{\mathrm{T}} = A$が成立するとき、$A$を対称行列という。下記に対称行列の具体例を表した。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right), \, \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{array} \right)
\end{align}
$$

$2$次形式の定義

$n$個の変数$x_1, \cdots , x_{n}$についての$2$次の単項式$x_i, x_j$の実数係数の$1$次結合の式を$2$次形式という。$2$次形式を$q(x_1, \cdots , x_n)$とおくと、$q(x_1, \cdots , x_n)$は係数$a_{ij}$を用いて下記のように定義できる。
$$
\large
\begin{align}
q(x_1, \cdots , x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_{i} x_{j}
\end{align}
$$

ここで上記に対し、係数$a_{ij}$を$(i,j)$成分に持つ行列$A=(a_{ij})$、変数を成分に持つ列ベクトルを$\displaystyle \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right)$とおくと、$q(x_1, \cdots , x_n)$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
q(x_1, \cdots , x_n) &= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_{i} x_{j} \\
&= \left( \begin{array}{ccc} x_1 & \cdots & x_n \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \\
&= \mathbf{x}^{\mathrm{T}} A \mathbf{x} \quad (1)
\end{align}
$$

$2$次形式と対称行列の対応

行列$A$で決まる$2$次形式$q_{A}(x_1, \cdots , x_n)$の$x_{i}^{2}$の係数は$A$の対角成分$a_{ii}$に対応する。また、$x_{i}x_{j} = x_{j}x_{i}$に対応する係数は$a_{ij}+a_{ji}$であり、$a_{ij}, a_{ji}$は$\displaystyle \frac{a_{ij}+a_{ji}}{2}$で取り替えることもできる。よって、$2$次形式を前項の$(1)$のような表記に直すとき、$A$が対称行列であるという前提をおいても良い。

$2$次形式(quadratic form)と対称行列(symmetric matrix)の対応の例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$161$

・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right)
\end{align}
$$

変数$x_1, x_2$についての$2$次形式を$q(x_1, x_2)$とおくと、$2$次形式の定義より、$q(x_1, x_2)$は下記のように求めることができる。
$$
\large
\begin{align}
q(x_1, x_2) &= \left( \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} x_1 & x_2 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} 2x_1 + x_2 \\ x_1 + 2x_2 \end{array} \right) \\
&= 2x_1^{2} + x_1 x_2 + x_1 x_2 + 2x_2^{2} = 2(x_1^{2} + x_1 x_2 + x_2^{2})
\end{align}
$$

・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$

変数$x_1, x_2, x_3$についての$2$次形式を$q(x_1, x_2, x_3)$とおくと、$2$次形式の定義より$q(x_1, x_2, x_3)$は下記のように求めることができる。
$$
\large
\begin{align}
q(x_1, x_2, x_3) &= \left( \begin{array}{ccc} x_1 & x_2 & x_3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \\
&= x_1 x_2 + 2 x_1 x_3 + x_2 x_1 + x_2 x_3 + 2 x_3 x_1 + x_3 x_2 \\
&= 2x_1x_2 + 4x_1 x_3 + 2 x_2 x_3
\end{align}
$$

$[1]$ではベクトル・行列の積に基づいて計算を行ったが、$[2]$では前節の$(1)$式に基づいて行列の係数のインデックスに基づいて各単項式の書き下しを行なった。

基本例題$162$