基本的な連立方程式(simultaneous equation)は中学数学などで取り扱いますが、線形代数では行列などを用いて連立方程式を表し高度な議論を行います。当記事では線形代数におけるトピックを取り扱うにあたって、拡大係数行列を用いた連立方程式の解法と解の自由度を取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$2.3$節「連立$1$次方程式とその解」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
Contents
連立方程式の解法と解の自由度
拡大係数行列
行列を用いて表した連立$1$次方程式$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$で係数行列$A$と定数項ベクトル$\mathbf{b}$を並べてできる行列$(A \, | \, \mathbf{b})$を拡大係数行列という。詳しくは下記で取り扱った。
拡大係数行列を用いた連立方程式の解法
拡大係数行列$(A \, | \, \mathbf{b})$の行基本変形を行うことで連立方程式の解を得ることができる。詳しくは下記で取り扱った。
連立方程式の解の自由度
連立$1$次方程式の全ての解を表すにあたって必要な任意定数の個数を解の自由度という。
具体例の確認
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$033$
$$
\large
\begin{align}
2x+5y-z+5u &= 8 \\
-x-3y+z-2u+2v &= -4 \\
-3y+3z+7u+4v &= 4 \\
x+2y+3u+2v &= 4
\end{align}
$$
基本例題$034$
・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
x+2y-z &= 3 \\
2x+4y-3z &= 5
\end{align}
$$
上記の連立$1$次方程式は$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -3 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 5 \end{array} \right)$のように行列表記することができる。この拡大係数行列の$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -3 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 3 \\ 5 \end{array} \right)$は下記のように簡約階段化を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 4 & -3 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 3 \\ 5 \end{array} \right) & \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 3 \\ -1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 3 \\ 1 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より連立方程式の解は任意定数$c$を用いて$x=4-2c, y=c, z=1$のように表される。また、このときの解の自由度は$1$である。
・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
x+y-z &= 6 \\
2x+4y+6z &= -2 \\
-3x-2y+z &= 5
\end{align}
$$
上記の連立$1$次方程式は$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 6 \\ -3 & -2 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 6 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right)$のように行列表記することができる。この拡大係数行列の$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 6 \\ -3 & -2 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 6 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right)$は下記のように簡約階段化を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 2 & 4 & 6 \\ -3 & -2 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 6 \\ -2 \\ 5 \end{array} \right) & \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 6 \\ -14 \\ 23 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & -2 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 6 \\ -7 \\ 23 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & -6 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 13 \\ -7 \\ 30 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} 13 \\ -7 \\ -5 \end{array} \right) \\
& \longrightarrow \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \, \middle| \, \begin{array}{c} -12 \\ 13 \\ -5 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記より連立方程式の解は$x=-12, y=13, z=-5$のように表される。また、このときの解の自由度は$0$である。