微分方程式(differential equation)は多くの応用先がありますが、統計学を学ぶにあたってもハザード関数から確率密度関数を導出する際などに用いられます。当記事では完全微分形の微分方程式の解法や積分因子を用いた完全微分形への式変形について取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$9$章「微分方程式」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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完全微分形と積分因子
完全微分形
関数$F(x,y)$について下記のように偏微分$P(x,y)$と$Q(x,y)$を定義する。
$$
\large
\begin{align}
P(x,y) &= F_{x}(x,y) = \frac{\partial F(x,y)}{\partial x} \\
Q(x,y) &= F_{y}(x,y) = \frac{\partial F(x,y)}{\partial y}
\end{align}
$$
このとき下記のような微分方程式を完全微分形という。
$$
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\begin{align}
P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 \quad (1.1)
\end{align}
$$
逆に$(1.1)$式のような微分方程式が完全微分形であることは、下記が成立するかどうかを調べれば良い。
$$
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\begin{align}
\frac{\partial P(x,y)}{\partial y} = P_{y}(x,y) = Q_{x}(x,y) = \frac{\partial Q(x,y)}{\partial x} \quad (1.2)
\end{align}
$$
ここまでの内容は「完全微分形 $\, \iff \,$ $(1.2)$式が成立」のようにまとめられる。また、このとき$F(x,y)$は下記のような計算により得ることができる。
$$
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\begin{align}
F(x,y) = \int_{a}^{x} P(u,b) du + \int_{b}^{y} Q(x,v) dv
\end{align}
$$
上記の$(a,b)$は$P(x,y), Q(x,y)$の定義域内の任意の点を用いて良いので、$a=b=0$をなるべく用いると計算がしやすい。
積分因子
完全微分形とは限らない微分方程式$Pdx+Qdy=0$に対し、ある関数$\mu(x,y)$を両辺に掛けることで$\mu P dx + \mu Q dy = 0$が完全微分形になることがある。このような$\mu(x,y)$を積分因子という。
積分因子を得るのは一般にそれほど簡単ではないが、以下のような場合は複雑な計算を行わずに積分因子を得ることができる。
$[1] \,$ $\displaystyle R(x)=\frac{1}{Q}(P_y-Q_x)$が$x$のみの関数であるとき、$\displaystyle \mu = \exp{\left( \int R(x) dx \right)}$とおくと$\mu=\mu(x)$は積分因子である。
$[2] \,$ $\displaystyle S(x)=-\frac{1}{P}(P_y-Q_x)$が$y$のみの関数であるとき、$\displaystyle \mu = \exp{\left( \int S(x) dx \right)}$とおくと$\mu=\mu(y)$は積分因子である。
同次形の微分方程式の使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。
基本例題$165$
・$[1]$
$$
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\begin{align}
(2x+4y+1)dx + (4x+3y-1)dy = 0 \quad (2.1.1)
\end{align}
$$
上記について$P(x,y)=2x+4y+1, \, Q(x,y)=4x+3y-1$のようにおくと、$P_{y}(x,y)=4=Q_{x}(x,y)$より、$(2.1.1)$式は完全微分形である。よって、下記の計算に基づいて$F(x,y)$を定義する。
$$
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\begin{align}
F(x,y) &= \int_{0}^{x} P(u,0) du + \int_{0}^{y} Q(x,v) dv \\
&= \int_{0}^{x} (2u+1) du + \int_{0}^{y} (4x+3v-1) dv \\
&= \left[ u^{2}+u \right]_{0}^{x} + \left[ 4xv + \frac{3}{2}v^{2}-v \right]_{0}^{y} \\
&= x^{2} + x + 4xy + \frac{3}{2}y^{2} – y \\
&= x^{2} + 4xy + \frac{3}{2}y^{2} + x – y
\end{align}
$$
ここで$F(x,y) = x^{2}+4xy+\frac{3}{2}y^{2}+x-y$について下記が成立する。
$$
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\begin{align}
F_{x}(x,y) &= 2x + 4y + 1 = P(x,y) \\
F_{y}(x,y) &= 4x + 3y – 1 = Q(x,y)
\end{align}
$$
よって微分方程式$(2.1.1)$の解は$\displaystyle x^{2}+4xy+\frac{3}{2}y^{2}+x-y = C$である。
・$[2]$
・$[3]$
基本例題$166$
・$[1]$
$$
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\begin{align}
(x+y^{2}+1)dx + 2ydy = 0 \quad (2.2.1)
\end{align}
$$
$P(x,y)=x+y^{2}+1, \, Q(x,y)=2y$とおく。このとき$P_{y}(x,y)=2y, \, Q_{x}(x,y)=0$より下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\frac{P_{y}(x,y)-Q_{x}(x,y)}{Q(x,y)} = \frac{2y-0}{2y} = 1
\end{align}
$$
ここで$\displaystyle \mu(x)=\exp{ \left( \int 1 dx \right) }$に基づいて$\mu(x)=e^{x}, \, \mu(x)P(x,y)=e^{x}(x+y^{2}+1), \, \mu(x)Q(x,y)=2e^{x}y^{2}$を定義すると下記が成立する。
$$
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\begin{align}
(\mu(x)P(x,y))_{y} = 2 e^{x} y = (\mu(x)Q(x,y))_{x}
\end{align}
$$
よって$e^{x}(x+y^{2}+1)dx + 2e^{x}ydy = 0$が完全微分形である。また、$F(x,y)=e^{x}(x+y^{2})$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
F_{x}(x,y) &= e^{x}(x+y^{2}+1) = \mu(x)P(x,y) \\
F_{y}(x,y) &= 2e^{x}y = \mu(x)Q(x,y)
\end{align}
$$
よって微分方程式$(2.1.1)$の解は$\displaystyle e^{x}(x+y^{2}) = C$である。
・$[2]$
$$
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\begin{align}
(1-xy)dx + (xy-x^{2})dy = 0 \quad (2.2.2)
\end{align}
$$
$P(x,y)=1-xy, \, Q(x,y)=xy-x^{2}$とおく。このとき$P_{y}(x,y)=-x, \, Q_{x}(x,y)=y-2x$より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{P_{y}(x,y)-Q_{x}(x,y)}{Q(x,y)} &= \frac{-x-(y-2x)}{xy-x^{2}} \\
&= \frac{-(y-x)}{x(y-x)} \\
&= \frac{1}{x}
\end{align}
$$
ここで下記のように$\mu(x)$を定義する。
$$
\large
\begin{align}
\mu(x) &= \exp{ \left( \int -\frac{1}{x} dx \right) } \\
&= e^{-\log{|x|}} \\
&= |x|^{-1} = \frac{1}{|x|}
\end{align}
$$
以下、$x>0$のときと$x<0$のときで場合分けし、確認を行う。
$a) \, x>0$のとき
$\mu(x)P(x,y)$、$\mu(x)Q(x,y)$は下記のように表される。
$$
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\begin{align}
\mu(x)P(x,y) &= \frac{1}{x}(1-xy) \\
\mu(x)Q(x,y) &= \frac{x(y-x)}{x} = y-x
\end{align}
$$
上記に対し、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
(\mu(x)P(x,y)){y} &= \frac{1}{x} \cdot (-x) = -1 \\
(\mu(x)Q(x,y)){x} &= -1
\end{align}
$$
よって$\mu(x)(1-xy)dx + \mu(x)(xy-x^{2})dy = 0$は完全微分形である。ここで$F(x,y)$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
F(x,y) &= \int_{1}^{x} \mu(u) P(u,0) du + \int_{0}^{y} Q(x,v) dv \\
&= \int_{1}^{x} \frac{1}{u} du + \int_{0}^{y} (v-x) dv \\
&= \left[ \log{|u|} \right]_{1}^{x} + \left[ \frac{1}{2}v^{2} – xv \right]_{0}^{y} \\
&= \log{x} – xy + \frac{1}{2}y^{2}
\end{align}
$$
このとき下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
F_{x}(x,y) &= \frac{1}{x} – y = \frac{1}{x}(1-xy) = \mu(x)P(x,y) \\
F_{y}(x,y) &= -x + y = y-x = \mu(x)Q(x,y)
\end{align}
$$
よって$x>0$のとき微分方程式$(2.2.2)$の解は$\displaystyle \log{x} – xy + \frac{1}{2}y^{2} = C_1$である。
$b) \, x<0$のとき
$a)$と同様な計算により$\displaystyle -\log{(-x)} + xy – \frac{1}{2}y^{2} = C_2$が得られる。
$a)$、$b)$より、$(2.2.2)$の解は$\displaystyle \log{|x|} – xy + \frac{1}{2}y^{2} = C$である。
・$[3]$
基本例題$167$
・$[1]$
$$
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\begin{align}
(3x^{2}y – 6x)dx + (x^{3}+2y)dy = 0 \quad (2.3.1)
\end{align}
$$
上記について$P(x,y)=3x^{2}y – 6x, \, Q(x,y)=x^{3}+2y$のようにおくと、$P_{y}(x,y)=3x^{2}=Q_{x}(x,y)$より、$(2.3.1)$式は完全微分形である。よって、下記の計算に基づいて$F(x,y)$を定義する。
$$
\large
\begin{align}
F(x,y) &= \int_{0}^{x} P(u,0) du + \int_{0}^{y} Q(x,v) dv \\
&= \int_{0}^{x} (-6u) du + \int_{0}^{y} (x^{3}+2v) dv \\
&= \left[ -3u^{2} \right]_{0}^{x} + \left[ x^{3}v + v^{2} \right]_{0}^{y} \\
&= -3x^{2} + x^{3}y + y^{2} \\
&= x^{3}y – 3x^{2} + y^{2}
\end{align}
$$
ここで$F(x,y) = x^{3}y – 3x^{2} + y^{2}$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
F_{x}(x,y) &= 3x^{2}y – 6x = P(x,y) \\
F_{y}(x,y) &= x^{3} + 2y = Q(x,y)
\end{align}
$$
よって微分方程式$(2.3.1)$の解は$\displaystyle x^{3}y – 3x^{2} + y^{2} = C$である。
・$[2]$
$$
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\begin{align}
(x^{3} + 2xy + y)dx + (y^{3} + x^{2} + x)dy = 0 \quad (2.3.2)
\end{align}
$$
上記について$P(x,y)=x^{3} + 2xy + y, \, Q(x,y)=y^{3} + x^{2} + x$のようにおくと、$P_{y}(x,y)=2x+1=Q_{x}(x,y)$より、$(2.3.2)$式は完全微分形である。よって、下記の計算に基づいて$F(x,y)$を定義する。
$$
\large
\begin{align}
F(x,y) &= \int_{0}^{x} P(u,0) du + \int_{0}^{y} Q(x,v) dv \\
&= \int_{0}^{x} u^{3} du + \int_{0}^{y} (v^{3} + x^{2} + x) dv \\
&= \left[ \frac{1}{4}u^{4} \right]_{0}^{x} + \left[ \frac{1}{4}v^{4} + x^{2}v + xv \right]_{0}^{y} \\
&= \frac{1}{4}x^{4} + \frac{1}{4}y^{4} + x^{2}y + xy \\
&= \frac{1}{4}x^{4} + x^{2}y + xy + \frac{1}{4}y^{4}
\end{align}
$$
ここで$\displaystyle F(x,y) = \frac{1}{4}x^{4} + x^{2}y + xy + \frac{1}{4}y^{4}$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
F_{x}(x,y) &= x^{3} + 2xy + y = P(x,y) \\
F_{y}(x,y) &= y^{3} + x^{2} + x = Q(x,y)
\end{align}
$$
よって微分方程式$(2.3.2)$の解は$\displaystyle \frac{1}{4}x^{4} + x^{2}y + xy + \frac{1}{4}y^{4} = C$である。
・$[3]$
$$
\large
\begin{align}
(\cos{y} + y \cos{x})dx + (\sin{x} – x \sin{y})dy = 0 \quad (2.3.3)
\end{align}
$$
上記について$P(x,y)=\cos{y} + y \cos{x}, \, Q(x,y)=\sin{x} – x \sin{y}$のようにおくと、$P_{y}(x,y)=\cos{x}-\sin{y}=Q_{x}(x,y)$より、$(2.3.3)$式は完全微分形である。よって、下記の計算に基づいて$F(x,y)$を定義する。
$$
\large
\begin{align}
F(x,y) &= \int_{0}^{x} P(u,0) du + \int_{0}^{y} Q(x,v) dv \\
&= \int_{0}^{x} 1 du + \int_{0}^{y} (\sin{x} – x \sin{v}) dv \\
&= \left[ u \right]_{0}^{x} + \left[ v \sin{x} + x \cos{v} \right]_{0}^{y} \\
&= x + y \sin{x} + x \cos{y} – x \\
&= x \cos{y} + y \sin{x}
\end{align}
$$
ここで$\displaystyle F(x,y) = x \cos{y} + y \sin{x}$について下記が成立する。
$$
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\begin{align}
F_{x}(x,y) &= \cos{y} + y \cos{x} = P(x,y) \\
F_{y}(x,y) &= -x \sin{y} + \sin{x} = Q(x,y)
\end{align}
$$
よって微分方程式$(2.3.3)$の解は$\displaystyle x \cos{y} + y \sin{x} = C$である。
・$[4]$