微分方程式(differential equation)は多くの応用先がありますが、統計学を学ぶにあたってもハザード関数から確率密度関数を導出する際などに用いられます。当記事では線形微分方程式の基本的な解法について概要と計算例を取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$9$章「微分方程式」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
Contents
線形微分方程式
線形微分方程式の定義
$x$の関数$q(x), p_0(x), \cdots , p_{n-1}(x)$を用いて下記のような形式で表される微分方程式を未知関数$y=y(x)$に関する$n$階の線形微分方程式という。
$$
\large
\begin{align}
y^{(n)} + p_{n-1}(x) y^{(n-1)} + \cdots + p_1(x) y’ + p_0(x) y + q(x) = 0 \quad (1.1)
\end{align}
$$
また、$(1.1)$式の線形微分方程式について$q(x)=0$が成立する場合「同次」といい、$q(x) \neq 0$のとき「非同次」であるという。
微分作用素
$$
\large
\begin{align}
D = \frac{d}{dx}
\end{align}
$$
線形微分方程式は上記のような微分作用素$D$を用いると見やすく表すことができる。
定数変化法
同次の微分方程式を解いたのちに解の定数$C$を$C(x)$に置き換えて非同次の微分方程式に代入し、特殊解を求める方法を定数変化法という。
多項式の分解と微分方程式
定数係数同次線形微分方程式の解
同次形の微分方程式の計算例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。
基本例題$168$
・$[1]$
$$
\large
\begin{align}
y’ + \frac{1}{x}y – x^2 = 0 \quad (2.1.1)
\end{align}
$$
以下、定数変化法を用いて解く。同次形の微分方程式$\displaystyle y’ + \frac{1}{x}y = 0$の解は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
y’ + \frac{1}{x}y &= 0 \\
\frac{dy}{dx} &= -\frac{y}{x} \\
\frac{dy}{y} &= -\frac{dx}{x} \\
\log{|y|} &= -\log{|x|} + C \\
\log{|xy|} &= C \\
y &= \frac{c_1}{x} \quad (2.1.2)
\end{align}
$$
上記に対し$c_1=p(x)$とおき、$(2.1.1)$式に代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \frac{p(x)}{x} \right)’ + \frac{p(x)}{x^2} – x^2 &= 0 \\
\frac{p'(x)x – \cancel{p(x)}}{x^2} + \cancel{\frac{p(x)}{x^2}} – x^2 &= 0 \\
\frac{p'(x)}{x} – x^2 &= 0 \\
\frac{dp}{dx} \cdot \frac{1}{x} &= x^{2} \\
dp &= x^{3} dx \\
p &= \frac{1}{4}x^{4} + C
\end{align}
$$
上記に基づいて$\displaystyle c_1 = p(x) = \frac{1}{4}x^{4}+C$を$(2.1.2)$式に代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
y &= \frac{c_1}{x} \\
&= \frac{1}{4}x^{3} + \frac{C}{4}
\end{align}
$$
・$[2]$
$$
\large
\begin{align}
y’ + y \cos{x} – \sin{x} \cos{x} = 0 \quad (2.2.1)
\end{align}
$$
以下、定数変化法を用いて解く。同次形の微分方程式$\displaystyle y’ + y \cos{x} = 0$の解は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
y’ + y \cos{x} &= 0 \\
\frac{dy}{dx} &= -y \cos{x} \\
\frac{dy}{y} &= – \cos{x} dx \\
\log{|y|} &= -\sin{x} + C \\
|y| &= e^{-\sin{x}+C} \\
y &= c_1 e^{-\sin{x}} \quad (2.2.2)
\end{align}
$$
上記に対し$c_1=p(x)$とおき、$(2.2.1)$式に代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
y’ + y \cos{x} – \sin{x} \cos{x} &= 0 \quad (2.2.1) \\
\left( p(x) e^{-\sin{x}} \right)’ + p(x) e^{-\sin{x}} \cos{x} &= \sin{x} \cos{x} \\
p'(x) e^{-\sin{x}} + \cancel{p(x) e^{-\sin{x}} \cdot (-\cos{x})} + \cancel{p(x) e^{-\sin{x}} \cos{x}} &= \sin{x} \cos{x} \\
\frac{dp}{dx} e^{-\sin{x}} &= \sin{x} \cos{x} \\
\int dp &= \int \sin{x} \cos{x} e^{\sin{x}} dx \quad (2.2.3)
\end{align}
$$
上記に対し、$t = \sin{x}$とおくと下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{dt}{dx} &= \cos{x} \\
\cos{dx} dx &= dt
\end{align}
$$
よって$(2.2.3)$式は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
\int dp &= \int \sin{x} \cos{x} e^{\sin{x}} dx \quad (2.2.3) \\
\int dp &= \int t e^{t} dt \\
p &= t e^{t} – \int (t)’ e^{t} dt \\
p &= t e^{t} – \int e^{t} dt \\
&= t e^{t} – e^{t} + C \\
&= e^{\sin{x}}(\sin{x} – 1) + C
\end{align}
$$
上記に基づいて$\displaystyle c_1 = p(x) = e^{\sin{x}}(\sin{x} – 1) + C$を$(2.2.2)$式に代入することで下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
y &= e^{-\sin{x}} (e^{\sin{x}}(\sin{x} – 1) + C) \\
&= \sin{x} + C e^{-\sin{x}} – 1
\end{align}
$$
・$[3]$
$$
\large
\begin{align}
y’ + 2y – 3 e^{4x} = 0 \quad (2.3.1)
\end{align}
$$
以下、定数変化法を用いて解く。同次形の微分方程式$\displaystyle y’ + 2y = 0$の解は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
y’ + 2y &= 0 \\
\frac{dy}{dx} &= -2y \\
\frac{dy}{y} &= -2 dx \\
\log{|y|} &= -2x + C \\
|y| &= e^{-2x+C} \\
y &= \pm e^{C} e^{-2x} \\
y &= c_1 e^{-2x} \quad (2.3.2)
\end{align}
$$
上記に対し$c_1=p(x)$とおき、$(2.3.1)$式に代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
y’ + 2y – 3 e^{4x} &= 0 \quad (2.3.1) \\
\left( p(x) e^{-2x} \right)’ + 2p(x) e^{-2x} &= 3 e^{4x} \\
p'(x)e^{-2x} – \cancel{2p(x) e^{-2x}} + \cancel{2p(x) e^{-2x}} &= 3 e^{4x} \\
\frac{dp}{dx} &= 3e^{6x} \\
\int dp &= \int 3e^{6x} dx \\
p &= \frac{1}{2} e^{6x} + C
\end{align}
$$
上記に基づいて$\displaystyle c_1 = p(x) = \frac{1}{2} e^{6x} + C$を$(2.3.2)$式に代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
y &= c_1 e^{-2x} \\
&= \left( \frac{1}{2} e^{6x} + C \right) e^{-2x} \\
&= \frac{1}{2} e^{4x} + C e^{-2x}
\end{align}
$$
基本例題$169$
基本例題$171$
基本例題$172$
基本例題$173$
重要例題$103$
$$
\large
\begin{align}
y’ + y \tan{x} = \frac{1}{\cos{x}}
\end{align}
$$
以下、定数変化法を用いて解く。同次形の微分方程式$y’ + y \tan{x} = 0$の解は下記のように得られる。
$[1] \,$ $y=0$のとき
定数関数$y=0$は$y’ + y \tan{x} = 0$の解である。
$[2] \,$ $y \neq 0$のとき
$y’ + y \tan{x} = 0$は下記のように変形できる。
$$
\large
\begin{align}
y’ + y \tan{x} &= 0 \\
\frac{dy}{dx} &= -y \tan{x} \\
\frac{dy}{y} &= -\tan{x} dx \\
\int \frac{1}{y} dy &= \int \frac{(\cos{x})’}{\cos{x}} dx \\
\log{|y|} &= \log{|\cos{x}|} + C \\
|y| &= e^{C} |\cos{x}| \\
y &= \pm e^{C} \cos{x} \\
&= c_1 \cos{x}
\end{align}
$$
$c_1=0$のとき$y=0$であるから、$[1]$の結果も$y=c_1 \cos{x}$で表すことができる。ここで$c_1=p(x)$とおき、元の式に代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
y’ + y \tan{x} &= \frac{1}{\cos{x}} \\
\left( p(x) \cos{x} \right)’ + p(x) \tan{x} &= \frac{1}{\cos{x}} \\
p'(x) \cos{x} – p(x) \sin{x} + p(x) \cancel{\cos{x}} \cdot \frac{\sin{x}}{\cancel{\cos{x}}} &= \frac{1}{\cos{x}} \\
p'(x) \cos{x} – \cancel{p(x) \sin{x}} + \cancel{p(x) \sin{x}} &= \frac{1}{\cos{x}} \\
\frac{dp}{dx} \cos{x} &= \frac{1}{\cos{x}} \\
dp &= \frac{1}{\cos^{2}{x}} dx \\
p &= \tan{x} + C
\end{align}
$$
上記に基づいて$\displaystyle c_1 = p(x) = \tan{x} + C$を$y = c_1 \cos{x}$式に代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
y &= c_1 \cos{x} \\
&= (\tan{x} + C) \cos{x} \\
&= \sin{x} + C \cos{x}
\end{align}
$$