複素数体におけるベクトル空間上の標準内積(inner product)の定義とその性質

高校数学における内積の計算式は一般的には標準内積(inner product)といわれます。高校数学では実数ベクトルのみを主に取り扱いますが、当記事では複素数体$\mathbb{C}$におけるベクトル空間上の標準内積の定義とその性質に関して取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$7$章「内積」を主に参考にしました。

・数学まとめ
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エルミート内積と標準内積

エルミート内積

$V$を複素数体$\mathbb{C}$上のベクトル空間における任意の$2$つのベクトル$\mathbf{v} \in V, \mathbf{w} \in V$に対し、$(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \in \mathbb{C}$を定める。

このとき、下記が成立すれば$(\mathbf{v}, \mathbf{w})$はエルミート内積である。

$(H1) \quad$ $(\mathbf{v}, \mathbf{w})$は第$1$成分に関して$\mathbb{C}$上線形であり、下記が成立する。
$\quad [1] \quad$ $(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2,\mathbf{w})=(\mathbf{v}_1,\mathbf{w})+(\mathbf{v}_2,\mathbf{w})$
$\quad [2] \quad$ $(k\mathbf{v}_1,\mathbf{w})=k(\mathbf{v}_1,\mathbf{w}) \, k \in \mathbb{C}$
$(H2) \quad$ $(\mathbf{v}, \mathbf{w})$は第$2$成分に関して$\mathbb{C}$上線形であり、下記が成立する。
$\quad [1] \quad$ $(\mathbf{v},\mathbf{w}_1+\mathbf{w}_2)=(\mathbf{v},\mathbf{w}_1)+(\mathbf{v},\mathbf{w}_2)$
$\quad [2] \quad$ $(\mathbf{v}_1,k\mathbf{w})=\bar{k}(\mathbf{v}_1,\mathbf{w}) \, k \in \mathbb{C}$
$(H3) \quad$ $(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = \overline{(\mathbf{v}, \mathbf{w})}$
$(H4) \quad$ 任意の$\mathbf{v} \in V$に対し、$(\mathbf{v},\mathbf{v}) \geq 0$であり、$(\mathbf{v},\mathbf{v})=0$となるのは$\mathbf{v}=\mathbf{0}$であるときに限る。

標準内積

$$
\large
\begin{align}
\mathbf{v} &= \left(\begin{array}{c} a_{1} \\ \vdots \\ a_{n} \end{array} \right) \\
\mathbf{w} &= \left(\begin{array}{c} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right)
\end{align}
$$
複素体$\mathbb{C}$上の$n$次元数ベクトル空間$\mathbb{C}^{n}$に上記の$2$つのベクトルを定める。

このとき標準内積$(\mathbf{v}, \mathbf{w})$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
(\mathbf{v}, \mathbf{w}) = a_{1} \overline{b_1} + \cdots + a_{1} \overline{b_n}
\end{align}
$$

エルミート内積・標準内積の性質

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$132$

$$
\large
\begin{align}
(a_1\mathbf{v}_1 &+ a_2\mathbf{v}_2, b_1\mathbf{w}_1+b_2\mathbf{w}_2) \\
&= a_1 \overline{b_1}(\mathbf{v}_1,\mathbf{w}_1) + a_1 \overline{b_2}(\mathbf{v}_1,\mathbf{w}_2) + a_2 \overline{b_1}(\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1) +a_2 \overline{b_2}(\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_2)
\end{align}
$$

上記が複素数体$\mathbb{C}$上で成立することをエルミート内積の定義を用いて下記に示す。
$$
\large
\begin{align}
& (a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2, b_1\mathbf{w}_1+b_2\mathbf{w}_2) \\
&= (a_1\mathbf{v}_1, b_1\mathbf{w}_1+b_2\mathbf{w}_2) + (a_2\mathbf{v}_2, b_1\mathbf{w}_1+b_2\mathbf{w}_2) \\
&= a_1(\mathbf{v}_1, b_1\mathbf{w}_1+b_2\mathbf{w}_2) + a_2(\mathbf{v}_2, b_1\mathbf{w}_1+b_2\mathbf{w}_2) \\
&= a_1(\mathbf{v}_1, b_1\mathbf{w}_1) + a_1(\mathbf{v}_1, b_2\mathbf{w}_2) + a_2(\mathbf{v}_2, b_1\mathbf{w}_1) + a_2(\mathbf{v}_2, b_2\mathbf{w}_2) \\
&= a_1 \overline{b_1}(\mathbf{v}_1,\mathbf{w}_1) + a_1 \overline{b_2}(\mathbf{v}_1,\mathbf{w}_2) + a_2 \overline{b_1}(\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_1) +a_2 \overline{b_2}(\mathbf{v}_2,\mathbf{w}_2)
\end{align}
$$

基本例題$133$

$$
\large
\begin{align}
(\mathbf{0}, \mathbf{w}) = (\mathbf{v},\mathbf{0}) = 0
\end{align}
$$

上記が複素数体$\mathbb{C}$上で成立することをエルミート内積の定義を用いて下記に示す。
$$
\large
\begin{align}
(\mathbf{0}, \mathbf{w}) &= (0 \cdot \mathbf{v}, \mathbf{w}) \\
&= 0 \cdot (\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0
\end{align}
$$

$$
\large
\begin{align}
(\mathbf{v}, \mathbf{0}) &= (\mathbf{v}, 0 \cdot \mathbf{w}) \\
&= \bar{0} \cdot (\mathbf{v}, \mathbf{w}) \\
&= 0 \cdot (\mathbf{v}, \mathbf{w}) = 0
\end{align}
$$

基本例題$134$