累次積分(repeated integral)は「$1$変数関数の積分を繰り返すことで多重積分を計算する積分の計算法」です。累次積分を用いることで多重積分を$1$変数の積分に帰着することが可能です。当記事では長方形領域における累次積分の計算の流れとその具体例に関して取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$7$章「積分(多変数)」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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Contents
長方形領域における累次積分の計算の流れ
累次積分は、「$1$変数関数の積分を繰り返すことで多重積分を計算する積分の計算法」である。累次積分を用いることで多重積分の計算が$1$変数の積分の計算に帰着できる。連続関数$f(x,y)$の長方形領域$[a,b] \times [c,d]$における重積分に関して下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} (x+y) dx dy &= \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) dx dy = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x,y) dy dx \\
D &= [a,b] \times [c,d]
\end{align}
$$
上記は次節で取り扱う「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の基本例題$126$で主に取り扱われている。また、$f(x,y)=g(x)h(y)$のように表せる場合、下記のように表すこともできる。
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} f(x,y) dx dy = \int_{c}^{d} \int_{a}^{b} f(x,y) dx dy = \int_{a}^{b} g(x) dx \cdot \int_{c}^{d} h(y) dx
\end{align}
$$
上記は「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の基本例題$127$で主に取り扱われているので次節で確認を行う。
長方形領域における累次積分の使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。
基本例題$126.(1)$
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} (x+y) dx dy, \quad D = [0,1] \times [0,2]
\end{align}
$$
・$x$を先に積分
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} (x+y) dx dy &= \int_{0}^{2} \int_{0}^{1} (x+y) dx dy \\
&= \int_{0}^{2} \left[ \frac{1}{2}x^2 + xy \right]_{x=0}^{x=1} dy \\
&= \int_{0}^{2} \left( \frac{1}{2} + y \right) dy \\
&= \left[ \frac{1}{2}y + \frac{1}{2}y^2 \right]_{0}^{2} \\
&= \frac{2}{2} + \frac{4}{2} = 3
\end{align}
$$
・$y$を先に積分
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} (x+y) dx dy &= \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} (x+y) dy dx \\
&= \int_{0}^{1} \left[ xy + \frac{1}{2}y^2 \right]_{y=0}^{y=2} dx \\
&= \int_{0}^{1} \left( 2x + 2 \right) dx \\
&= \left[ x^2 + 2x \right]_{0}^{1} \\
&= 1+2 = 3
\end{align}
$$
基本例題$126.(2)$
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} (2x^2+y^2) dx dy, \quad D = [0,1] \times [0,1]
\end{align}
$$
・$x$を先に積分
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} (2x^2+y^2) dx dy &= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (2x^2+y^2) dx dy \\
&= \int_{0}^{1} \left[ \frac{2}{3}x^3 + xy^2 \right]_{x=0}^{x=1} dy \\
&= \int_{0}^{1} \left( \frac{2}{3} + y^2 \right) dy \\
&= \left[ \frac{2}{3}y + \frac{1}{3}y^3 \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1
\end{align}
$$
・$y$を先に積分
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} (2x^2+y^2) dx dy &= \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} (2x^2+y^2) dy dx \\
&= \int_{0}^{1} \left[ 2x^2y + \frac{1}{3}y^3 \right]_{y=0}^{y=1} dx \\
&= \int_{0}^{1} \left( 2x^2 + \frac{1}{3} \right) dy \\
&= \left[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{3}x \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1
\end{align}
$$
基本例題$126.(3)$
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} \sin{(x+y)} dx dy, \quad D = [0,\pi] \times \left[ 0,\frac{\pi}{2} \right]
\end{align}
$$
・$x$を先に積分
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} \sin{(x+y)} dx dy &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{\pi} \sin{(x+y)} dx dy \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left[ -\cos{(x+y)} \right]_{x=0}^{x=\pi} dy \\
&= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( -\cos{(y+\pi)} + \cos{y} \right) dy \\
&= \left[ -\sin{(y+\pi)} + \sin{y} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \left(-\sin{\frac{3}{2}\pi}+\sin{\frac{\pi}{2}}\right) – (-\sin{\pi}+\sin{0}) = 2
\end{align}
$$
・$y$を先に積分
$$
\large
\begin{align}
\int \int_{D} \sin{(x+y)} dx dy &= \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{(x+y)} dy dx \\
&= \int_{0}^{\pi} \left[ -\cos{(x+y)} \right]_{y=0}^{y=\frac{\pi}{2}} dx \\
&= \int_{0}^{\pi} \left( \cos{\left( x+\frac{\pi}{2} \right)} – \cos{x} \right) dx \\
&= \left[ \sin{x} – \sin{\left( x+\frac{\pi}{2} \right)} \right]_{0}^{\pi} \\
&= \left( \sin{\pi} – \sin{\frac{3}{2}\pi} \right) – \left( \sin{0} – \sin{\frac{\pi}{2}} \right) = 2
\end{align}
$$
基本例題$127.(1)$
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} x^3y^2 dx dy, \quad D = [0,1] \times [0,1]
\end{align}
$$
上記は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} x^3y^2 dx dy &= \int_{0}^{1} x^3 dx \cdot \int_{0}^{1} y^2 dy \\
&= \left[ \frac{1}{4} x^4 \right]_{0}^{1} \cdot \left[ \frac{1}{3} y^3 \right]_{0}^{1} \\
&= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{12}
\end{align}
$$
基本例題$127.(2)$
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} \sin{x}\cos{y} dx dy, \quad D = \left[ 0,\frac{\pi}{3} \right] \times \left[ 0,\frac{\pi}{6} \right]
\end{align}
$$
上記は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\int \int_{D} \sin{x}\cos{y} dx dy &= \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin{x} dx \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos{y} dy \\
&= \left[ -\cos{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \cdot \left[ \sin{x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \\
&= -\left( \frac{1}{2} – 1 \right) \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
\end{align}
$$