線形代数の枠組みで$n$次正方行列の行列式(determinant)を取り扱うにあたっては置換(permutation)という概念を抑えておく必要があります。当記事では置換(permutation)と行列式(determinant)について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$4$章「行列式」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
置換と行列式
互換の符号
互換$\sigma=(i \quad j)$の符号は常に$\mathrm{sgn}(\sigma)=-1$であり、全ての互換は奇置換である。
置換を用いた行列式の定義
$n$次正方行列$A=(a_{ij})$の行列式$\det{(A)}$は$1, \cdots , n$の$n$個の文字の置換$\sigma$を用いて下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
\det{(A)} = \sum_{\sigma} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)}
\end{align}
$$
上記を元に、$2$次正方行列$\displaystyle A = \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)$の行列式$\det{(A)}$は、置換$\sigma$が$\displaystyle \sigma_{1} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} \right]$と$\displaystyle \sigma_{2} = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right]$の$2$種類取り得ることから下記のような式で計算することができる。
$$
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\begin{align}
\det{(A)} &= \sum_{\sigma} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \\
&= \mathrm{sgn}(\sigma_{1}) a_{1 \sigma_{1}(1)} a_{2 \sigma_{1}(2)} + \mathrm{sgn}(\sigma_{2}) a_{1 \sigma_{2}(1)} a_{2 \sigma_{2}(2)} \\
&= a_{11} a_{22} \, – \, a_{12} a_{21}
\end{align}
$$
上記の式変形の理解にあたっては$\sigma_{1}$は単位置換であるから$\mathrm{sgn}(\sigma_{1})=1$、$\sigma_{2}$は互換であるから$\mathrm{sgn}(\sigma_{2})=-1$であることを注意しておくと良い。
例題の確認
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$058$
・$[1]$
$$
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\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right)
\end{align}
$$
$\det{(A)}$は下記のように計算できる。
$$
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\begin{align}
\det{(A)} &= \left| \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right| \\
&= 1 \cdot 4 \, – \, 2 \cdot 3 \\
&= 4 \, – \, 6 = -2
\end{align}
$$
・$[2]$
$$
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\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
$\det{(A)}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\det{(A)} &= \left| \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right| \\
&= 0 \cdot 0 \, – \, 1 \cdot 1 \\
&= 0 \, – \, 1 = -1
\end{align}
$$
基本例題$062$
・$[1]$
$i$列目が$\mathbf{a}_{i}$である$n$次正方行列$A$は下記のように表される。
$$
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\begin{align} A &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{a}_{1} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{array} \right) \\
\mathbf{a}_{i} &= \left( \begin{array}{c} a_{1i} \\ \vdots \\ a_{ni} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array} \right)
\end{align}
$$
また、行列$A$の行列式は行列式の定義より下記のように表される。
$$
\large
\begin{align}
\det{(A)} = \sum_{\sigma} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{1 \sigma(1)} a_{2 \sigma(2)} \cdots a_{n \sigma(n)}
\end{align}
$$
ここで任意の$\sigma$について$\sigma(k)=i$となる$k$が存在するが、$\mathbf{a}_{i}=\mathbf{0}$であるので$\sigma(k)=i$に対応する任意の$j$について$a_{j \sigma(k)} = a_{ji} = 0$である。よって行列式$\det{(A)}$は$\det{(A)}=0$となる。