グラム行列(gram matrix)はベクトル空間の基底の内積に基づいて定義されカーネル法(kernel method)などに用いられます。当記事ではグラム行列(gram matrix)の定義とチャート式線形代数の演習問題の計算例について確認を行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$7$章「内積」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
グラム行列
グラム行列の定義
$n$次元ベクトル空間$V$の基底を下記のように定義する。
$$
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\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots , \mathbf{v}_{n} \right\}
\end{align}
$$
このとき$\mathbf{v}_{i}$と$\mathbf{v}_{j}$の内積を$(\mathbf{v}_{i},\mathbf{v}_{j})$とおくと、グラム行列$G$は下記のように定義される。
$$
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\begin{align}
G = \left( \begin{array}{ccc} (\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{1}) & \cdots & (\mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{n}) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ (\mathbf{v}_{n},\mathbf{v}_{1}) & \cdots & (\mathbf{v}_{n},\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right)
\end{align}
$$
グラム行列の計算例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$147$
$$
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\begin{align}
(f, g) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)g(x) dx \quad (1)
\end{align}
$$
基底${ \sin{x}, \cos{x} }$について内積$(\sin{x}, \sin{x}), \, (\sin{x}, \cos{x})=(\cos{x}, \sin{x}), \, (\cos{x}, \cos{x})$は$(1)$式に基づいてそれぞれ下記のように計算できる。
・$(\sin{x}, \sin{x})$
$$
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\begin{align}
(\sin{x}, \sin{x}) &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2}{x} dx \\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 – \cos{2x}) dx \\
&= \frac{1}{2} \left[ x – \frac{1}{2}\sin{2x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} – 0 \right) \\
&= \frac{1}{4} \pi
\end{align}
$$
・$(\sin{x}, \cos{x}) = (\cos{x}, \sin{x})$
$$
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\begin{align}
(\sin{x}, \cos{x}) &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} \cos{x} dx \\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{2x} dx \\
&= \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2}\cos{2x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= -\frac{1}{4} (-1-1) \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
$$
・$(\cos{x}, \cos{x})$
$$
\large
\begin{align}
(\sin{x}, \sin{x}) &= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2}{x} dx \\
&= \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos{2x}) dx \\
&= \frac{1}{2} \left[ x + \frac{1}{2}\sin{2x} \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} \\
&= \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} – 0 \right) \\
&= \frac{1}{4} \pi
\end{align}
$$
したがって、グラム行列$G$は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
G &= \left( \begin{array}{cc} (\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{1}) & (\mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}) \\ (\mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{1}) & (\mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{2}) \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cc} (\sin{x}, \sin{x}) & (\sin{x}, \cos{x}) \\ (\cos{x}, \sin{x}) & (\cos{x}, \cos{x}) \end{array} \right) \\
&= \frac{1}{4} \left( \begin{array}{cc} \pi & 2 \\ 2 & \pi \end{array} \right)
\end{align}
$$