表現行列①：線形写像と表現行列(representation matrix)

ベクトル空間$V$からベクトル空間$W$への線形写像$f:V \longrightarrow W$について、それぞれのベクトル空間$V, W$の基底に基づく演算の際に表現行列(representation matrix)が用いられます。当記事では線形写像と表現行列について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$6$章「線形写像」を主に参考にしました。

・数学まとめ
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線形写像と表現行列

ベクトル空間の基底と線形写像

$n$次元ベクトル空間$V$と$m$次元ベクトル空間の基底をそれぞれ下記のように定義する。
・$V$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1}, \cdots , \mathbf{v}_{n} \right\} \quad (1)
\end{align}
$$

・$W$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{w}_{1}, \cdots , \mathbf{w}_{m} \right\} \quad (2)
\end{align}
$$

上記はそれぞれ$n$次元ベクトル空間と$m$次元ベクトル空間であるので$\mathrm{dim}{V}=n, \, \mathrm{dim}{W}=m$が成立する。ここで線形写像$f:V \longrightarrow W$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
f(\mathbf{v}_{j}) &= a_{1j} \mathbf{w}_{1} + \cdots + a_{mj} \mathbf{w}_{m} \\
&= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{m} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{array} \right) \quad (3)
\end{align}
$$

線形写像と表現行列

線形写像$f:V \longrightarrow W$を$(1), (2)$の基底について表した$(3)$式を元に下記のような式を得ることができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{m} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)
\end{align}
$$

上記を元に表現行列$A$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)
\end{align}
$$

表現写像$A$は線形写像$f:V \longrightarrow W$の特定の基底$\displaystyle \left\{ \mathbf{v}_{1}, \cdots , \mathbf{v}_{n} \right\}$と$\displaystyle \left\{ \mathbf{w}_{1}, \cdots , \mathbf{w}_{n} \right\}$の組について定義されたものであることに注意しておくと良い。このため線形写像$f$だけでは表現行列が一意に決まらない。「表現写像 $\iff$ 線形写像＋ベクトル空間の基底」の対応で抑えておくとよい。

表現行列の例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$122$

$$
\large
\begin{align}
f : V & \longrightarrow W, \, \mathrm{dim}{V}=5, \, \mathrm{dim}{W}=2 \\
f(\mathbf{v}_{1}) &= \mathbf{w}_{1} + 5 \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{2}) &= \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{3}) &= 3 \mathbf{w}_{1} + 7 \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{4}) &= 2 \mathbf{w}_{1} + 6 \mathbf{w}_{2} \\
f(\mathbf{v}_{5}) &= \mathbf{w}_{1} + \mathbf{w}_{2}
\end{align}
$$

上記は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccccc} f(\mathbf{v}_{1}) & f(\mathbf{v}_{2}) & f(\mathbf{v}_{3}) & f(\mathbf{v}_{4}) & f(\mathbf{v}_{5}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} \mathbf{w}_{1} & \mathbf{w}_{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 7 & 6 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

よって表現行列$A$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 3 & 2 & 1 \\ 5 & 1 & 7 & 6 & 1 \end{array} \right)
\end{align}
$$

重要例題$063$

$$
\large
\begin{align}
f : V & \longrightarrow W, \, \mathrm{dim}{V}=4, \, \mathrm{dim}{W}=3 \\
f(\mathbf{v}_{1}) &= \mathbf{w}_{1} + 3 \mathbf{w}_{2} + 2 \mathbf{w}_{3} \\
f(\mathbf{v}_{2}) &= 2 \mathbf{w}_{1} + 6 \mathbf{w}_{2} + 4 \mathbf{w}_{3} \\
f(\mathbf{v}_{3}) &= 2 \mathbf{w}_{2} + \mathbf{w}_{3} \\
f(\mathbf{v}_{4}) &= 2 \mathbf{w}_{1} + 4 \mathbf{w}_{2} + 3 \mathbf{w}_{3}
\end{align}
$$

上記は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{cccc} f(\mathbf{v}_{1}) & f(\mathbf{v}_{2}) & f(\mathbf{v}_{3}) & f(\mathbf{v}_{4}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \mathbf{w}_{2} & \mathbf{w}_{3} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$

よって表現行列$A$は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 3 & 6 & 2 & 4 \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$