表現行列②：零写像・恒等写像と表現行列(representation matrix)

ベクトル空間$V$からベクトル空間$W$への線形写像$f:V \longrightarrow W$について、それぞれのベクトル空間$V, W$の基底に基づく演算の際に表現行列(representation matrix)が用いられます。当記事では零写像・恒等写像と表現行列について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$6$章「線形写像」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

表現行列と零写像・恒等写像

表現行列

$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{m} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)
\end{align}
$$

線形写像$f:V \longrightarrow W$の表現行列$A$は上記を元に下記のように定義される。

$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)
\end{align}
$$

詳しくは下記で取り扱った。
https://www.hello-statisticians.com/math_basic/representation_matrix1.html

零写像

恒等写像

零写像・恒等写像の表現行列

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$123$

$[1]$

$n$次元ベクトル空間$K^{n}$と$m$次元ベクトル空間$K^{m}$の標準基底をそれぞれ下記のようにおく。
・$K^{n}$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{e}_{1}, \cdots , \mathbf{e}_{n} \right\}
\end{align}
$$

・$K^{m}$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{e}_{1}’, \cdots , \mathbf{e}_{m}’ \right\}
\end{align}
$$

このとき$0(\mathbf{e}_{i})=\mathbf{0}$より、下記のような式が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} 0(\mathbf{e}_{1}) & \cdots & 0(\mathbf{e}_{n}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{e}_{1}’ & \cdots & \mathbf{e}_{m}’ \end{array} \right) O
\end{align}
$$

上記より「零写像$0:K^{n} \longrightarrow K^{m}$」の「$K^{n}$の標準基底と$K^{m}$の標準基底」に関する表現行列は零行列$O$である。

$[2]$

$n$次元ベクトル空間$K^{n}$の標準基底を下記のようにおく。
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{e}_{1}, \cdots , \mathbf{e}_{n} \right\}
\end{align}
$$

このとき$\mathrm{id}(\mathbf{e}_{i})=\mathbf{e}_{i}$より、下記のような式が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} \mathrm{id}(\mathbf{e}_{1}) & \cdots & \mathrm{id}(\mathbf{e}_{n}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{e}_{1} & \cdots & \mathbf{e}_{n} \end{array} \right) I_{n}
\end{align}
$$

上記より「恒等写像$\mathrm{id}:K^{n} \longrightarrow K^{n}$」の「$K^{n}$の標準基底」に関する表現行列は恒等写像$I_{n}$である。