ベクトル空間$V$からベクトル空間$W$への線形写像$f:V \longrightarrow W$について、それぞれのベクトル空間$V, W$の基底に基づく演算の際に表現行列(representation matrix)が用いられます。当記事では導関数をとる線形写像の表現行列について取りまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$6$章「線形写像」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
Contents
導関数をとる線形写像の表現行列
表現行列
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{ccc} f(\mathbf{v}_{1}) & \cdots & f(\mathbf{v}_{n}) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{w}_{1} & \cdots & \mathbf{w}_{m} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)
\end{align}
$$
線形写像$f:V \longrightarrow W$の表現行列$A$は上記を元に下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)
\end{align}
$$
詳しくは下記で取り扱った。
https://www.hello-statisticians.com/math_basic/representation_matrix1.html
導関数をとる線形写像の表現行列
導関数をとる線形写像の表現行列の例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$121$
線形写像$\displaystyle \frac{d}{dx}:W_{n} \longrightarrow W_{n-1}$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{d}{dx} 1 = 0, \, \frac{d}{dx} x = 1, \, \frac{d}{dx} x^{2} = 2x, \, \frac{d}{dx} x^{3} = 3x^{2}
\end{align}
$$
上記より下記のような式が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{cccc} \displaystyle \frac{d}{dx} 1 & \displaystyle \frac{d}{dx} x & \displaystyle \frac{d}{dx} x^{2} & \displaystyle \frac{d}{dx} x^{3} \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 2x & 3x^{2} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} 1 & x & x^{2} \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
よってここでの線形写像と$W_{3}$と$W_{2}$のそれぞれの基底についての表現行列$A$は下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right)
\end{align}
$$
基本例題$124$
線形写像$\displaystyle \frac{d^{2}}{dx^{2}}:W_{n} \longrightarrow W_{n-2}$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{d^{2}}{dx^{2}} 1 = 0, \, \frac{d^{2}}{dx^{2}} x = 0, \, \frac{d^{2}}{dx^{2}} x^{2} = 2, \, \frac{d^{2}}{dx^{2}} x^{3} = 6x
\end{align}
$$
上記より下記のような式が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{cccc} \displaystyle \frac{d}{dx} 1 & \displaystyle \frac{d}{dx} x & \displaystyle \frac{d}{dx} x^{2} & \displaystyle \frac{d}{dx} x^{3} \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 2 & 6x \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{ccc} 1 & x \end{array} \right) \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)
\end{align}
$$
よってここでの線形写像と$W_{3}$と$W_{1}$のそれぞれの基底についての表現行列$A$は下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{cccc} 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end{array} \right)
\end{align}
$$
重要例題$062$
線形写像$\displaystyle \frac{d}{dx}:W_{n} \longrightarrow W_{n-1}$について下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\frac{d}{dx} 1 = 0, \, \frac{d}{dx} x = 1, \, \frac{d}{dx} x^{2} = 2x, \, \cdots , \, \frac{d}{dx} x^{n} = nx^{n-1}
\end{align}
$$
上記より下記のような式が得られる。
$$
\large
\begin{align}
& \left( \begin{array}{ccccc} \displaystyle \frac{d}{dx} 1 & \displaystyle \frac{d}{dx} x & \displaystyle \frac{d}{dx} x^{2} & \cdots & \displaystyle \frac{d}{dx} x^{3} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 2x & \cdots & nx^{n-1} \end{array} \right) \\
&= \left( \begin{array}{cccc} 1 & x & \cdots & x^{n-1} \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n \end{array} \right)
\end{align}
$$
よってここでの線形写像と$W_{n}$と$W_{n-1}$のそれぞれの基底についての表現行列$A$は下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & n \end{array} \right)
\end{align}
$$