クラメールの公式(Cramer’s rule)を用いることで連立一次方程式を行列式(determinant)の計算に基づいて解くことが可能になります。当記事ではクラメールの公式の式と問題演習を通した計算例の確認について取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$4$章「行列式」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
クラメールの公式
$n$個の未知数についての$n$個方程式からなる連立$1$次方程式$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
A \mathbf{x} &= \mathbf{b} \\
A &= \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{a}_{1} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{array} \right) \\
\mathbf{a}_{i} &= \left( \begin{array}{c} a_{1i} \\ \vdots \\ \mathbf{a}_{ni} \end{array} \right), \, \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right), \, \mathbf{b} = \left( \begin{array}{c} b_{1} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right)
\end{align}
$$
このとき、連立$1$次方程式$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$の解$\mathbf{x}$の$i$番目の成分$x_{i}$は下記に基づいて計算することができる。
$$
\large
\begin{align}
x_{i} = \frac{\det{\left( \begin{array}{ccccccc} \mathbf{a}_{1} & \cdots & \mathbf{a}_{i-1} & \mathbf{b} & \mathbf{a}_{i+1} & \cdots & \mathbf{a}_{n} \end{array} \right)}}{\det{(A)}}
\end{align}
$$
上記をクラメールの公式という。
クラメールの公式の使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$073$
・$[1]$
$$
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\begin{cases}
2x – 3y = 1 \\
3x + 4y = 2
\end{cases}
$$
上記の連立方程式は下記のような行列表記で表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
\left( \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 3 & 4 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right)
\end{align}
$$
上記に対してクラメールの公式を適用することで、$x, y$は下記のように得られる。
$$
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\begin{align}
x &= \frac{\left| \begin{array}{cc} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 3 & 4 \end{array} \right|} \\
&= \frac{4+6}{8+9} \\
&= \frac{10}{17} \\
y &= \frac{\left| \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{cc} 2 & -3 \\ 3 & 4 \end{array} \right|} \\
&= \frac{4-3}{8+9} \\
&= \frac{1}{17}
\end{align}
$$