いくつかのベクトルによって部分空間(subspace)が構成されている際に、部分空間を生成する線型独立(linearly independent)なベクトルの組を基底(basis)といいます。当記事では部分空間を構成するベクトルから基底を構成する一連の流れについて取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$5.3$節「基底と次元」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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基底の構成
延長原理
ベクトル空間$V$の$1$次独立なベクトル$\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots \mathbf{v}_{n-1}, \mathbf{v}_{n} \}$が$V$を生成しない場合、部分空間$\left< \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots \mathbf{v}_{n-1}, \mathbf{v}_{n} \right>$に属さない$V$上の任意のベクトル$\mathbf{v}_{k+1}$について$\{ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2}, \cdots \mathbf{v}_{n}, \mathbf{v}_{n+1} \}$は$1$次独立である。
具体的には、『$\mathbb{R}^{2}$上のベクトル$\displaystyle \mathbf{v}_{1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)$がなす直線上にないベクトル$\displaystyle \mathbf{v}_{2} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)$について${ \mathbf{v}_{1}, \mathbf{v}_{2} }$が$1$次独立である』が延長原理の$1$例である。
基底の構成の流れ
基底を構成する条件
$n$次元ベクトル空間$V$上の$n$個のベクトルを$\{ \mathbf{v}_{1}, \, \cdots , \, \mathbf{v}_{n} \}$のように定義する。
また、行列$A$を下記のように定義する。
$$
\large
\begin{align}
A = \left( \begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \cdots & \mathbf{v}_{n} \end{array} \right)
\end{align}
$$
このとき、「$\{ \mathbf{v}_{1}, \, \cdots , \, \mathbf{v}_{n} \}$が$V$の基底であり$\mathrm{dim} \, V = n$である」ことと下記の$[1]$〜$[3]$は同値である。
$[1] \,$ $\{ \mathbf{v}_{1}, \, \cdots , \, \mathbf{v}_{n} \}$が一次独立である。
$[2] \,$ $\{ \mathbf{v}_{1}, \, \cdots , \, \mathbf{v}_{n} \}$が$V$を生成する.
$[3] \,$ 行列$A$が正則行列である。
具体例の確認
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。
基本例題$097$
$$
\large
\begin{align}
G = \left\{ \mathbf{v}_{1} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{2} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{3} = \left( \begin{array}{c} -3 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{4} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{5} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \end{array} \right) \right\}
\end{align}
$$
$[0]$
$\mathbf{v}_{1}=\mathbf{0}, \, \mathbf{v}_{2}$より、$B={ \mathbf{v}_{2} }$とおく。
$[1]$
$B={ \mathbf{v}_{2} }$に対し$B \neq \mathbb{R}^{2}$であるので、$\mathbf{v}_{3}$以降を調べる。ここで$\mathbf{v}_{3} = -3 \mathbf{v}_{2}$であるので、$\mathbf{v}_{3} \in B$である。
次に、$\mathbf{v}_{4} \notin \left< B \right>$であるから$B = \{ \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{4} \}$とおくと、延長原理より$B$は線型独立である。
ここで$\mathrm{dim} \, \mathbb{R}^2 = 2$であるから$B = \{ \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{4} \}$は$\mathbb{R}^{2}$の基底である。
以上より、$\mathbb{R}^{2}$の基底は$B = \{ \mathbf{v}_{2}, \mathbf{v}_{4} \}$で構成される。
基本例題$099$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{2} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 2 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{3} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ -1 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{4} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right), \, \mathbf{v}_{5} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \right\}
\end{align}
$$