1次独立(linearly independent)・1次従属の定義と判定

$1$次独立(linearly independent)・$1$次従属はベクトル空間を取り扱う上で基底(basis)の定義に用いられるなど重要な概念です。当記事では$1$次独立(linearly independent)・$1$次従属の定義と判定について取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の第$5.2$節「$1$次独立と$1$次従属」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

1次独立・1次従属

1次独立の定義

$$
\large
\begin{align}
a_1 \mathbf{v}_{1} + \cdots + a_n \mathbf{v}_{n} = \mathbf{0} \implies a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0
\end{align}
$$

『ベクトル空間$V$に基づく$\mathbf{v}_{1} \in V, \cdots \mathbf{v}_{n} \in V$』と『$a_1 \in \mathbb{R}, \cdots a_n \in \mathbb{R}$』について上記が成立するとき$\{ \mathbf{v}_{1}, \cdots \mathbf{v}_{n} \}$は$1$次独立である。

1次従属の定義

$1$次独立の定義が成立しない場合、$1$次従属である。

1次独立・1次従属の判定

判定法①

$1$次独立の定義が成立する場合は$1$次独立、成立しない場合は$1$次従属であると判断する。

判定法②

ベクトル${ \mathbf{v}_{1}, \cdots \mathbf{v}_{n} }$を並べた行列を$A$とおき、$\mathrm{rank} A = n$であれば$1$次独立、$\mathrm{rank} A < n$であれば$1$次従属であると判断する。

行列$A$のランク$\mathrm{rank} A$は$A$について行基本変形を行い、$A$を階段形に変形することで得ることができる。

具体例の確認

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 線形代数」の例題の確認を行う。

基本例題$090$

$[1]$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1} = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{2} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] \right\}
\end{align}
$$

上記に対し、$1 \cdot \mathbf{v}_{1} + 0 \cdot \mathbf{v}_{2}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
1 \cdot \mathbf{v}_{1} + 0 \cdot \mathbf{v}_{2} &= 1 \cdot \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right] + 0 \cdot \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記より『$a_1 \mathbf{v}_{1} + \cdots + a_n \mathbf{v}_{n} = \mathbf{0} \implies a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$』が成立しないので$\{ \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2} \}$は$1$次従属である。

$[2]$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{2} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] \right\}
\end{align}
$$

$a_1 \mathbf{v}_{1} + a_2 \mathbf{v}_{2} = \mathbf{0}$のとき、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
a_1 \mathbf{v}_{1} + a_2 \mathbf{v}_{2} &= \mathbf{0} \\
a_1 \left[\begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right] + a_2 \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] &= \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right] \\
\left[\begin{array}{c} a_1+a_2 \\ -a_1+a_2 \end{array} \right] &= \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記を解くと$a_1=a_2=0$が得られる。『$a_1 \mathbf{v}_{1} + \cdots + a_n \mathbf{v}_{n} = \mathbf{0} \implies a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$』が成立するので$\{ \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2} \}$は$1$次独立である。

$[3]$
$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{2} = \left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{3} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] \right\}
\end{align}
$$

上記に対し、$1 \cdot \mathbf{v}_{1} + 1 \cdot \mathbf{v}_{2} – 3 \cdot \mathbf{v}_{3}$は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
1 \cdot \mathbf{v}_{1} + 1 \cdot \mathbf{v}_{2} – 3 \cdot \mathbf{v}_{3} &= \left[\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array} \right] + \left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right] – 3 \left[\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array} \right] \\
&= \left[\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記より『$a_1 \mathbf{v}_{1} + \cdots + a_n \mathbf{v}_{n} = \mathbf{0} \implies a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0$』が成立しないので$\{ \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} \}$は$1$次従属である。

基本例題$092$

$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1} = \left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 2 \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{2} = \left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ a \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{3} = \left[\begin{array}{c} 2 \\ -1 \\ 0 \end{array} \right] \right\}
\end{align}
$$

$\displaystyle A = \left[\begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \mathbf{v}_{3} \end{array} \right]$のようにおくと、下記のように行基本変形できる。
$$
\large
\begin{align}
A = & \left[\begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \mathbf{v}_{3} \end{array} \right] = \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & a & 0 \end{array} \right] \\
\longrightarrow & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & a & -4 \end{array} \right] \\
\longrightarrow & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & a-4 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記は$a=4$のとき$\mathrm{rank} A = 2$、$a \neq 4$のとき$\mathrm{rank} A = 3$である。よって$a=4$のとき$\{ \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} \}$は$\mathbb{R}$上$1$次従属である。

基本例題$093$

$$
\large
\begin{align}
\left\{ \mathbf{v}_{1} = \left[\begin{array}{c} a \\ -1 \\ 7 \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{2} = \left[\begin{array}{c} 3 \\ 1 \\ 5 \end{array} \right], \, \mathbf{v}_{3} = \left[\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 7 \end{array} \right] \right\}
\end{align}
$$

$\displaystyle A = \left[\begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \mathbf{v}_{3} \end{array} \right]$のようにおくと、下記のように行基本変形できる。
$$
\large
\begin{align}
A = & \left[\begin{array}{ccc} \mathbf{v}_{1} & \mathbf{v}_{2} & \mathbf{v}_{3} \end{array} \right] = \left[\begin{array}{ccc} a & 3 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \\ 7 & 5 & 7 \end{array} \right] \\
\longrightarrow & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 7 & 5 & 7 \\ a & 3 & -3 \end{array} \right] \\
\longrightarrow & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 7 \\ 0 & -a+3 & -3 \end{array} \right] \\
\longrightarrow & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -7/2 \\ 0 & -a+3 & -3 \end{array} \right] \\
\longrightarrow & \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -7/2 \\ 0 & 0 & -(7a-15)/2 \end{array} \right]
\end{align}
$$

上記は$a=15/7$のとき$\mathrm{rank} A = 2$、$a \neq 15/7$のとき$\mathrm{rank} A = 3$である。よって$\displaystyle a = \frac{15}{7}$のとき${ \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3} }$は$\mathbb{R}$上$1$次独立である。