三角関数の定義・加法定理・倍角の公式など|基本演習で理解する統計学【7】

三角関数は数多くの応用がある数学のトピックであり、統計学でも出てくることが多いですが、加法定理の派生の公式が多く、$1$つ$1$つ抑えるのもなかなか大変です。そこで当記事では単位円に基づく三角関数の定義や加法定理の図形的導出などを元に、三角関数に関して直感的に理解できる演習を作成しました。

・統計学 基本演習$100$選
https://www.hello-statisticians.com/practice_100_basic

基本問題

単位円と三角関数の定義

・問題
・解答
・解説

加法定理の図的理解

・問題
三角関数の加法定理の式の導出は色々とあるが、複雑な導出を毎度行うのは大変なので、図に基づいて導出する方法を知っておくと良い。この問題では以下、加法定理の図的理解に関して取り扱いを行う。

図.$1$ $\alpha+\beta$の描画

加法定理の理解にあたっては上記のように角度$\alpha, \beta$を考えるとき、$\sin{(\alpha+\beta)}$と$\cos{(\alpha+\beta)}$を図的に考えることができる。以下の問いにそれぞれ答えよ。
i) 図.$1$を元に$\sin{(\alpha+\beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$が成立することを確認せよ。
ⅱ) 図.$1$を元に$\cos{(\alpha+\beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$が成立することを確認せよ。

・解答
i)

上図を元に考えることで$\sin{(\alpha+\beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$が成立することが確認できる。

ⅱ)

上図を元に考えることで$\cos{(\alpha+\beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$が成立することが確認できる。

・解説
三角関数の加法定理は様々な導出法がありますが、式の形をなるべく速く導出できると良いのでこの問題で取り扱ったような図的な表現を抑えておくと良いと思います。この問題は下記を元に作成を行いましたので下記も合わせて参照ください。

倍角の公式の導出と応用

・問題
・解答
・解説

発展問題

和積・積和の公式

・問題
・解答
・解説

三角関数の極限とマクローリン展開

・問題
・解答
・解説