三角関数の加法定理・倍角の公式・極限、微分の公式の簡易的な導出とその直感的理解

三角関数の「加法定理」・「倍角の公式」・「極限、微分の公式」は高校数学の主要なトピックであり、様々な専門領域の基礎になるが、公式を適用することが中心になりがちで、導出まで抑えているケースが少ないと思われる。
そこで当記事では「加法定理」・「倍角の公式」・「極限、微分の公式」に関して簡易的な導出を取りまとめることで、それぞれの直感的な理解が可能になるように取り扱った。

加法定理・倍角の公式

$\displaystyle \tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}$とできることより、以下では$\sin, \cos$のみ計算し、$\tan$に関する導出は行わない。

加法定理

加法定理の導出にあたっては様々な方法があるが、三角関数が三角比に基づいて理解できることも考慮すると、図形的に示せる方が良いと思われる。よって、以下では図を用いたシンプルな導出を示す。

上図を用いることで、$\sin{(\alpha+\beta)}, \cos{(\alpha+\beta)}$の導出を行うことができ、$\sin{(\alpha+\beta)}, \cos{(\alpha+\beta)}$から$\sin{(\alpha-\beta)}, \cos{(\alpha-\beta)}$の導出を行うこともできる。

・$\sin{(\alpha+\beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}$の導出

上図より$\sin{(\alpha+\beta)} = \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta}$が導出できる。

・$\cos{(\alpha+\beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} – \sin{\alpha}\sin{\beta}$の導出

上図より$\cos{(\alpha+\beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} – \sin{\alpha}\sin{\beta}$が導出できる。

・$\sin{(\alpha-\beta)}, \cos{(\alpha-\beta)}$の導出
$$
\large
\begin{align}
\sin{(\alpha+\beta)} &= \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta} \\
\cos{(\alpha+\beta)} &= \cos{\alpha}\cos{\beta} – \sin{\alpha}\sin{\beta}
\end{align}
$$
上記の$\beta$に$-\beta$を代入することでそれぞれ導出を行うことができる。

ここまでの議論により、下記のような三角関数の加法定理の式が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\sin{(\alpha+\beta)} &= \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta} \\
\sin{(\alpha-\beta)} &= \sin{\alpha}\cos{\beta} – \cos{\alpha}\sin{\beta} \\
\cos{(\alpha+\beta)} &= \cos{\alpha}\cos{\beta} – \sin{\alpha}\sin{\beta} \\
\cos{(\alpha-\beta)} &= \cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}
\end{align}
$$

倍角の公式

2倍角の公式

$$
\large
\begin{align}
\sin{(\alpha+\beta)} &= \sin{\alpha}\cos{\beta} + \cos{\alpha}\sin{\beta} \\
\cos{(\alpha+\beta)} &= \cos{\alpha}\cos{\beta} – \sin{\alpha}\sin{\beta}
\end{align}
$$
上記の加法定理の公式に対して$\beta=\alpha$を代入することで導出ができる。

$$
\large
\begin{align}
\sin{(2 \alpha)} &= \sin{(\alpha+\alpha)} \\
&= \sin{\alpha}\cos{\alpha} + \cos{\alpha}\sin{\alpha} \\
&= 2 \sin{\alpha}\cos{\alpha} \\
\cos{(2 \alpha)} &= \cos{(\alpha+\alpha)} \\
&= \cos{\alpha}\cos{\alpha} – \sin{\alpha}\sin{\alpha} \\
&= \cos^2{\alpha} – \sin^2{\alpha}
\end{align}
$$

3倍角の公式

$3\alpha=2\alpha+\alpha$と考えて加法定理を適用すればよい。
$$
\large
\begin{align}
\sin{(3 \alpha)} &= \sin{(2 \alpha+\alpha)} \\
&= \sin{2 \alpha}\cos{\alpha} + \cos{2 \alpha}\sin{\alpha} \\
&= 2 \sin{\alpha}\cos{\alpha} \cdot \cos{\alpha} + (\cos^2{\alpha} – \sin^2{\alpha}) \cdot \sin{\alpha} \\
&= 3\sin{\alpha}\cos^2{\alpha} – \sin^3{\alpha} \\
&= 3\sin{\alpha} – 4\sin^3{\alpha}
\end{align}
$$

$$
\large
\begin{align}
\cos{(3 \alpha)} &= \cos{(2 \alpha+\alpha)} \\
&= \cos{2 \alpha}\cos{\alpha} – \sin{2 \alpha}\sin{\alpha} \\
&= (\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}) \cdot \cos{\alpha} – 2 \sin{\alpha}\cos{\alpha} \cdot \sin{\alpha} \\
&= \cos^3{\alpha} – 3\sin^2{\alpha}\cos{\alpha} \\
&= 4\cos^3{\alpha} – \cos{\alpha}
\end{align}
$$

上記の導出にあたっては$\cos^2{\alpha}+\sin^2{\alpha}=1$より、$\cos^2{\alpha}=1-\sin^2{\alpha}, \sin^2{\alpha}=1-\cos^2{\alpha}$を用いた。

極限の公式

公式の概要と導出

$$
\large
\begin{align}
\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin{\theta}}{\theta} &= 1 \\
\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos{\theta}}{\theta^2} &= \frac{1}{2} \\
\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan{\theta}}{\theta} &= 1
\end{align}
$$

・$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin{\theta}}{\theta} = 1$の導出
$\theta > 0$で示す。$\theta > 0$では下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\sin{\theta} < \theta < \tan{\theta}
\end{align}
$$

このとき$\theta > 0$より、$\sin{\theta} > 0$が成立することに基づいて不等式を$\sin{\theta}$で割ると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\cancel{\sin{\theta}}}{\cancel{\sin{\theta}}} < & \frac{\theta}{\sin{\theta}} < \frac{\tan{\theta}}{\sin{\theta}} \\
1 < & \frac{\theta}{\sin{\theta}} < \frac{1}{\cos{\theta}}
\end{align}
$$

ここで$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{1}{\cos{\theta}} = 1$より、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\sin{\theta}} &= 1 \\
\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin{\theta}}{\theta} &= 1
\end{align}
$$

・$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos{\theta}}{\theta^2} = \frac{1}{2}$の導出
$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin{\theta}}{\theta} = 1$などを用いることで下記のように導出を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos{\theta}}{\theta^2} &= \lim_{\theta \to 0} \frac{(1-\cos{\theta})(1+\cos{\theta})}{\theta^2(1+\cos{\theta})} \\
&= \lim_{\theta \to 0} \frac{1-\cos^{2}{\theta}}{\theta^2(1+\cos{\theta})} \\
&= \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin^{2}{\theta}}{\theta^2(1+\cos{\theta})} \\
&= \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\sin{\theta}}{\theta} \right)^{2} \cdot \frac{1}{1+\cos{\theta}} \\
&= 1 \cdot \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}
\end{align}
$$

・$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\tan{\theta}}{\theta} = 1$の導出
$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin{\theta}}{\theta} = 1$などを用いることで下記のように導出を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{\theta \to 0} \frac{\tan{\theta}}{\theta} &= \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin{\theta}}{\theta} \cdot \frac{1}{\cos{\theta}} \\
&= 1 \cdot \frac{1}{1} = 1
\end{align}
$$

Pythonプログラムを用いた数値的・直感的理解

微分の公式

下記で導出を行なった。
https://www.hello-statisticians.com/explain-terms-cat/diff_formula1.html#i-6

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