ロピタルの定理(l’Hopital’s rule)を用いた極限の不定形の計算

ロピタルの定理(l’Hopital’s rule)は極限の不定形$\displaystyle \frac{0}{0}$に対して微分法を用いることで導出を行う手法です。当記事ではロピタルの定理の概要と具体的な利用例に関して確認を行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$3$章「微分($1$変数)」を主に参考にしました。

・数学まとめ
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ロピタルの定理の概要

$a$を含む閉区間$I$で定義された関数$f(x), g(x)$が微分可能で下記の条件が成立すると仮定する。

$[1] \quad$ $\displaystyle \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x)$
$[2] \quad$ $x \neq a$である$I$内の全ての点で$g'(x) \neq 0$
$[3] \quad$ 極限$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$が存在する

上記が成り立つとき、極限$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$も存在し、$\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$が成立し、ロピタルの定理という。

ロピタルの定理の具体例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。

基本例題$057.(1)$

$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos{x})\sin{x}}{x-\sin{x}}
\end{align}
$$

上記に対し、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} (1-\cos{x})\sin{x} &= (1-1) \cdot 0 = 0 \quad [1] \\
\lim_{x \to 0} (x-\sin{x}) &= 0-0 = 0 \quad [1] \\
(x-\sin{x})’ &= 1-\cos{x} \neq 0, \quad 0 < |x| < \pi \quad [2] \\
((1-\cos{x})\sin{x})’ &= \sin^{2}{x}-\cos^{2}{x} \quad [3] \\
(x-\sin{x})’ &= 1-\cos{x} \quad [3] \\
\lim_{x \to 0} \frac{((1-\cos{x})\sin{x})’}{(x-\sin{x})’} &= \lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2}{x}+\cos{x}-\cos^{2}{x}}{1-\cos{x}} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}} \quad (1)
\end{align}
$$

ここで$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} (\cos{x}-\cos{2x}) &= 1-1 = 0 \quad [1] \\
\lim_{x \to 0} (1-\cos{x}) &= 1-1 = 0 \quad [1] \\
(1-\cos{x})’ &= \sin{x} \neq 0, \quad 0 < |x| < \pi \quad [2] \\
(\cos{x}-\cos{2x})’ &= -\sin{x} + 2 \sin{2x} \quad [3] \\
(1-\cos{x})’ &= \sin{x} \quad [3] \\
\lim_{x \to 0} \frac{(\cos{x}-\cos{2x})’}{((1-\cos{x})’} &= \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin{2x} – \sin{x}}{\sin{x}} \\
&= \lim_{x \to 0} \frac{4 \sin{x}\cos{x} – \sin{x}}{\sin{x}} \\
&= \lim_{x \to 0} (4\cos{x} – 1) = 3
\end{align}
$$

よってロピタルの定理より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{\cos{x}-\cos{2x}}{1-\cos{x}} &= \lim_{x \to 0} \frac{(\cos{x}-\cos{2x})’}{((1-\cos{x})’} \\
&= 3 \quad (2)
\end{align}
$$

$(1), (2)$より、$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{(1-\cos{x})\sin{x}}{x-\sin{x}} = 3$が成り立つ。

基本例題$057.(2)$

$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1-x}{x^2}
\end{align}
$$

上記に対し、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} f(x) &= \lim_{x \to 0} (e^{x}-1-x) = (1-1-0) \cdot 0 = 0 \quad [1] \\
\lim_{x \to 0} g(x) &= \lim_{x \to 0} (x^2) = 0^2 \cdot 0 = 0 \quad [1] \\
g'(x) &= (x^2)’ = 2x \neq 0 \quad \mathrm{if} \,\, x \neq 0 \quad [2] \\
f'(x) &= (e^{x}-1-x)’ = e^{x} – 1 \quad [3] \\
g'(x) &= (x^2)’ = 2x \quad [3] \\
\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{2x} \quad (3)
\end{align}
$$

ここで$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{2x}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} f(x) &= \lim_{x \to 0} (e^{x}-1-x) = (1-1-0) \cdot 0 = 0 \quad [1] \\
\lim_{x \to 0} g(x) &= \lim_{x \to 0} (x^2) = 0^2 \cdot 0 = 0 \quad [1] \\
g'(x) &= (x^2)’ = 2x \neq 0 \quad \mathrm{if} \,\, x \neq 0 \quad [2] \\
f^{”}(x) &= (e^{x}-1)’ = e^{x} \quad [3] \\
g^{”}(x) &= (2x)’ = 2 \quad [3] \\
\lim_{x \to 0} \frac{f^{”}(x)}{g^{”}(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}}{2} \\
&= \frac{1}{2}
\end{align}
$$

よってロピタルの定理より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{f^{”}(x)}{g^{”}(x)} \\
&= \frac{1}{2} \quad (4)
\end{align}
$$

$(3), (4)$より、$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{1}{2}$が成り立つ。

基本例題$057.(3)$

$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh{x}-x}{\sin{x}-x}
\end{align}
$$

上記に対し、下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} f(x) &= \lim_{x \to 0} (\sinh{x}-x) = 0 \quad [1] \\
\lim_{x \to 0} g(x) &= \lim_{x \to 0} \sin{x}-x = 0 \quad [1] \\
g'(x) &= (\sin{x}-x)’ = \cos{x}-1 \neq 0 \quad \mathrm{if} \,\, 0 < x < \frac{\pi}{2} \quad [2],[3] \\
f'(x) &= (\sinh{x}-x)’ = \cosh{x}-1 \quad [3] \\
\lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{\cosh{x}-1}{\cos{x}-1} \quad (5)
\end{align}
$$

ここで$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosh{x}-1}{\cos{x}-1}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} f'(x) &= \lim_{x \to 0} (\cosh{x}-1) = (1-1) = 0 \quad [1] \\
\lim_{x \to 0} g'(x) &= \lim_{x \to 0} (\cos{x}-1) = (1-1) = 0 \quad [1] \\
g^{”}(x) &= (\cos{x}-1)’ = -\sin{x} \neq 0 \quad \mathrm{if} \,\, 0 < x < \frac{\pi}{2} \quad [2],[3] \\
f^{”}(x) &= (\cosh{x}-1)’ = \sinh{x} \quad [3] \\
\lim_{x \to 0} \frac{f^{”}(x)}{g^{”}(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{\sinh{x}}{-\sin{x}} \quad (6)
\end{align}
$$

上記の$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f^{”}(x)}{g^{”}(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh{x}}{-\sin{x}}$に関して下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} f^{”}(x) &= \lim_{x \to 0} \sinh{x} = 0 \quad [1] \\
\lim_{x \to 0} g^{”}(x) &= \lim_{x \to 0} (-\sin{x}) 0 \quad [1] \\
g^{(3)}(x) &= (-\sin{x})’ = \cos{x} \neq 0 \quad \mathrm{if} \,\, 0 < x < \frac{\pi}{2} \quad [2],[3] \\
f^{(3)}(x) &= (\sinh{x})’ = \cosh{x} \quad [3] \\
\lim_{x \to 0} \frac{f^{(3)}(x)}{g^{(3)}(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{\cosh{x}}{-\cos{x}} \\
&= \frac{1}{-1} = -1
\end{align}
$$

よってロピタルの定理より下記が成立する。
$$
\large
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \frac{f^{”}(x)}{g^{”}(x)} &= \lim_{x \to 0} \frac{f^{(3)}(x)}{g^{(3)}(x)} \\
&= -1 \quad (7)
\end{align}
$$

$(5), (6), (7)$より、$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = -1$が成り立つ。

基本例題$058$

基本例題$061$