当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$5$の「微分」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat
本章のまとめ
演習問題解答
問題$5.1$
・$[1]$
$f(x) = x e^{-ax^2}$の微分は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
f'(x) &= (x e^{-ax^2})’ \\
&= a^{-ax^2} + x e^{-ax^2} (-ax^2)’ \\
&= (1-2ax^2) e^{-ax^2}
\end{align}
$$
・$[2]$
$f(x)=x^x$の両辺の対数を取ると$\log{f(x)}=\log{x^{x}}=x\log{x}$が得られる。この両辺の微分を行うと、下記のように変形を行える。
$$
\large
\begin{align}
(\log{f(x)})’ &= (x\log{x})’ \\
\frac{f'(x)}{f(x)} &= \log{x} + \cancel{x} \cdot \frac{1}{\cancel{x}} \\
f'(x) &= (\log{x}+1)x^{x}
\end{align}
$$
・解説
$[2]$の計算の流れは「対数微分法」といわれるが、教科書などに載ってない場合も多いので注意して抑えておくと良い。詳細に関しては下記でも取り扱ったので合わせて確認しておくと良い。