当記事は「統計学のための数学入門$30$講(朝倉書店)」の読解サポートにあたってChapter.$6$の「関数の極値」の章末問題の解答の作成を行いました。
基本的には書籍の購入者向けの解説なので、まだ入手されていない方は購入の上ご確認ください。また、解説はあくまでサイト運営者が独自に作成したものであり、書籍の公式ページではないことにご注意ください。
・書籍解答まとめ
https://www.hello-statisticians.com/answer_textbook_math#math_stat
本章のまとめ
演習問題解答
問題$6.1$
$$
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\begin{align}
f(\lambda) = \frac{1}{k!} \lambda^{k} e^{-\lambda}
\end{align}
$$
上記の$f(\lambda)$を$\lambda$で微分すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\partial f(\lambda)}{\partial \lambda} &= \frac{1}{k!} \left( k \lambda^{k-1} e^{-\lambda} \right) \\
&= \frac{\lambda^{k-1} e^{-\lambda} (k – \lambda)}{k!}
\end{align}
$$
$\lambda>0$であるので、$k>0$の場合は$f(\lambda)$は$\lambda=k$のとき、以下の極値をとる。
$$
\large
\begin{align}
f(k) = \frac{1}{k!} k^{k} e^{-k}
\end{align}
$$
また、$k=0$の場合は$f(\lambda)=e^{-\lambda}$より、極値が存在しない。
次に$\log{f(\lambda)}$の極値を考えるにあたって、$\log{f(\lambda)}$を$\lambda$で微分を行うと下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\partial \log{f(\lambda)}}{\partial \lambda} &= \frac{\partial}{\partial \lambda} (k \log{\lambda} – \lambda – \log{k!}) \\
&= \frac{k}{\lambda} – 1
\end{align}
$$
$\lambda>0$であるので、$k>0$の場合は$f(\lambda)$は$\lambda=k$のとき、以下の極値をとる。
$$
\large
\begin{align}
\log{f(k)} = k \log{k} – k – \log{k!}
\end{align}
$$
また、$k=0$の場合は$\log{f(k)}=\log{e^{-\lambda}}=-\lambda$より、極値が存在しない。
問題$6.2$
$$
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\begin{align}
f(\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}
\end{align}
$$
上記の$f(\lambda)$を$\lambda$で微分すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\partial f(\lambda)}{\partial \lambda} &= e^{-\lambda x} + \lambda e^{-\lambda x} \times (-x) \\
&= (1 – \lambda x) e^{-\lambda x}
\end{align}
$$
$\lambda>0, x \geq 0, e^{-\lambda x}>0$であるので、$x>0$の場合に$\displaystyle \lambda=\frac{1}{x}$のとき以下の極値をとる。
$$
\large
\begin{align}
f \left( \frac{1}{x} \right) &= \frac{1}{x} e^{-\frac{1}{x} \cdot x} \\
&= \frac{1}{e x}
\end{align}
$$
また、$x=0$の場合は$f(\lambda)=\lambda$より、極値が存在しない。
次に$\log{f(\lambda)}$の極値を考えるにあたって、$\log{f(\lambda)}$を$\lambda$で微分を行うと下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\partial \log{f(\lambda)}}{\partial \lambda} &= \frac{\partial}{\partial \lambda} (\log{\lambda} – \lambda x) \\
&= \frac{1}{\lambda} – x
\end{align}
$$
$\lambda>0, x \geq 0$であるので、$x>0$の場合に$\displaystyle \lambda=\frac{1}{x}$のとき以下の極値をとる。
$$
\large
\begin{align}
\log{f \left( \frac{1}{x} \right)} &= \log{\frac{1}{x}} – \frac{1}{x} \cdot x \\
&= -\log{x} – 1
\end{align}
$$
また、$x=0$の場合は$f(\lambda)=\log{\lambda}$より、極値が存在しない。