有限マクローリン展開(finite maclaurin expansion)の式と使用例の確認

有限マクローリン展開(finite maclaurin expansion)は有限テイラー展開の特殊な場合であり、近似値の計算などに用いることができます。最大の次数の項の取り扱いが少々難しいので、当記事では有限マクローリン展開の式と使用例の確認を行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$3$章「微分($1$変数)」を主に参考にしました。

・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic

有限マクローリン展開の式の確認

$n$次の有限マクローリン展開は下記のような式で表される。
$$
\large
\begin{align}
f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + \frac{f^{(n)}(\theta x)}{n!} x^{n}, \quad 0 \leq \theta \leq 1
\end{align}
$$

上記を元に近似値の計算を行う場合は、$n-1$次までの項を元に近似値を計算し、$n$次の項を元に誤差に関して考察を行えばよい。また、$n$次の有限テイラー展開は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{f^{(n)}(a+\theta(x-a))}{n!} (x-a)^{n} \quad 0 \leq \theta \leq 1
\end{align}
$$

有限テイラー展開の式に$a=0$を代入した式が有限マクローリン展開であり、有限マクローリン展開が有限テイラー展開の特殊な場合であることも合わせて抑えておくとよい。

有限マクローリン展開の式の使用例

以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。

基本例題$064$

重要例題$036$

重要例題$037$

・$(1)$
$f(x)=e^{\frac{x}{2}}$とおく。このとき$f(x)$の$n$階微分を$f^{(n)}(x)$とおくと、$f^{(n)}(x)$は下記のように表すことができる。
$$
\large
\begin{align}
f^{(n)}(x) = \frac{1}{2^{n}} e^{\frac{x}{2}}
\end{align}
$$

よって、$f(x)=e^{\frac{x}{2}}$の$4$次までの有限マクローリン展開は下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
e^{\frac{x}{2}} &= \sum_{k=0}^{4-1} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + \frac{f^{(n)}(\theta x)}{4!} x^{4} \\
&= \sum_{k=0}^{3} \frac{e^{\frac{0}{2}}}{k! \cdot 2^{k}}x^k + \frac{e^{\frac{\theta x}{2}}}{4! \cdot 2^{4}} x^{4} \\
&= \sum_{k=0}^{3} \frac{1}{k! \cdot 2^{k}}x^k + \frac{e^{\frac{\theta x}{2}}}{4! \cdot 2^{4}} x^{4} \\
&= \frac{1}{0! \cdot 2^{0}}x^0 + \frac{1}{1! \cdot 2^{1}}x^1 + \frac{1}{2! \cdot 2^{2}}x^2 + \frac{1}{3! \cdot 2^{3}}x^3 + \frac{e^{\frac{\theta x}{2}}}{4! \cdot 2^{4}} x^{4} \\
&= 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{48}x^3 + \frac{e^{\frac{\theta x}{2}}}{384} x^{4} \quad (1)
\end{align}
$$

・$(2)$
$(1)$の計算結果に$x=1$を代入すると下記が得られる。
$$
\large
\begin{align}
e^{\frac{1}{2}} &= 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{48} + \frac{e^{\frac{\theta}{2}}}{384} \\
&= \frac{79}{48} + \frac{e^{\frac{\theta}{2}}}{384}
\end{align}
$$

よって$\sqrt{e}=e^{\frac{1}{2}}$の近似値は下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\sqrt{e} = e^{\frac{1}{2}} \simeq \frac{79}{48} = 1.64583333…
\end{align}
$$

また、上記の近似値の誤差は$\displaystyle \frac{e^{\frac{\theta}{2}}}{384}$であり、$0 < \theta < 1, e < 3$より誤差の範囲は下記のように考えられる。
$$
\large
\begin{align}
0 < & \theta < 1 \\
e^{\frac{0}{2}} < & e^{\frac{\theta}{2}} < e^{\frac{1}{2}} < 3^{\frac{1}{2}} \\
\frac{1}{384} < & \frac{e^{\frac{\theta}{2}}}{384} < \frac{\sqrt{3}}{384}
\end{align}
$$