双曲線関数(hyperbolic function)の$\sinh, \cosh, \tanh$はそれぞれ指数関数の$e^{x}$や$e^{-x}$を用いて定義されます。当記事では双曲線関数の微分の公式を確認し、合成関数の微分の公式や商の導関数の公式を用いてそれぞれの導出に関して取り扱いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$3$章「微分($1$変数)」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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Contents
双曲線関数の微分の公式
双曲線関数の定義
双曲線関数の$\sinh{x}, \cosh{x}, \tanh{x}$はそれぞれ下記のように定義される。
$$
\large
\begin{align}
\sinh{x} &= \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} \\
\cosh{x} &= \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} \\
\tanh{x} &= \frac{\sinh{x}}{\cosh{x}} = \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}
\end{align}
$$
双曲線関数の定義に関しては下記で詳しく取り扱った。
双曲線関数の微分の公式
$$
\large
\begin{align}
(\sinh{x})’ &= \cosh{x} \\
(\cosh{x})’ &= \sinh{x} \\
(\tanh{x})’ &= \frac{1}{\cosh^{2}{x}} \\
(\sinh{kx})’ &= k \cosh{kx} \quad (1) \\
(\cosh{kx})’ &= k \sinh{kx} \quad (2) \\
(\tanh{kx})’ &= \frac{k}{\cosh^{2}{kx}} \quad (3)
\end{align}
$$
次節では$(1)$〜$(3)$式の導出の確認を行う。
双曲線関数の微分の公式の導出
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。
重要例題$027.(1) \quad (\sinh{kx})’ = k \cosh{kx}$の導出
下記のように$(\sinh{kx})’ = k \cosh{kx}$の導出を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
(\sinh{kx})’ &= \left( \frac{e^{kx}-e^{-kx}}{2} \right)’ \\
&= \frac{ke^{kx}+ke^{-kx}}{2} \\
&= k \times \frac{e^{kx}+e^{-kx}}{2} = k \cosh{kx}
\end{align}
$$
重要例題$027.(2) \quad (\cosh{kx})’ = k \sinh{kx}$の導出
下記のように$(\cosh{kx})’ = k \sinh{kx}$の導出を行うことができる。
$$
\large
\begin{align}
(\cosh{kx})’ &= \left( \frac{e^{kx}+e^{-kx}}{2} \right)’ \\
&= \frac{ke^{kx}-ke^{-kx}}{2} \\
&= k \times \frac{e^{kx}-e^{-kx}}{2} = k \sinh{kx}
\end{align}
$$
重要例題$027.(3) \quad$ $\displaystyle (\tanh{kx})’ = \frac{k}{\cosh^{2}{kx}}$の導出
下記のように$\displaystyle (\tanh{kx})’ = \frac{k}{\cosh^{2}{kx}}$の導出を行うことができる。
$$
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\begin{align}
(\tanh{kx})’ &= \left( \frac{\sinh{kx}}{\cosh{kx}} \right)’ \\
&= \left( \frac{e^{kx}-e^{-kx}}{e^{kx}+e^{-kx}} \right)’ \\
&= \frac{k(e^{kx}+e^{-kx})^2 – k(e^{kx}-e^{-kx})^2}{(e^{kx}+e^{-kx})^2} \\
&= \frac{k}{\displaystyle \left( \frac{e^{kx}+e^{-kx}}{2} \right)^2} \\
&= \frac{k}{\cosh^{2}{kx}}
\end{align}
$$