$1$変数関数の合成関数(composite function)の微分は媒介変数に関する微分の積で計算することができますが、多変数関数に合成関数の微分の考え方を適用する際は積と和を組み合わせて考える必要がありやや複雑です。当記事では多変数関数に関する合成関数の微分の計算法と具体例に関してまとめました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$6$章「微分(多変数)」を主に参考にしました。
・数学まとめ
https://www.hello-statisticians.com/math_basic
多変数関数に関する合成関数の微分の計算法
平面上の開領域$U$で定義された全微分可能関数$z=f(x,y)$を考える。さらに開区間$I$で定義された微分可能関数の$x=\psi(t), y=\phi(t)$を考える。また、${}^{\forall} t \in I$に関して$(\psi(t), \phi(t)) \in U$が成立すると仮定する。このとき、$z = f(\psi(t), \phi(t))$は$I$上で微分可能であり、導関数は下記のように得られる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{d f(\psi(t), \phi(t))}{dt} &= \frac{\partial f(\psi(t), \phi(t))}{\partial \psi(t)} \frac{d \psi(t)}{dt} + \frac{\partial f(\psi(t), \phi(t))}{\partial \phi(t)} \frac{d \phi(t)}{dt} \\
&= \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \frac{d \psi(t)}{dt} + \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \frac{d \phi(t)}{dt}
\end{align}
$$
多変数関数に関する合成関数の微分の使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。
基本例題$111$
$$
\large
\begin{align}
f(x, y) &= \log{(x^2+xy+y^2+1)} \\
\psi(t) &= e^{t} + e^{-t}, \quad \phi(t) = e^{t} – e^{-t} \\
g(t) &= f(\psi(t), \phi(t))
\end{align}
$$
上記のように定めた$g(t)$に対し、以下$g'(t)$の計算を行う。$g'(t)$は$f(\psi(t), \phi(t))$を用いて下記のような式で表される。
$$
\large
\begin{align}
g'(t) &= \frac{d f(\psi(t), \phi(t))}{dt} \\
&= \frac{\partial f(\psi(t), \phi(t))}{\partial \psi(t)} \frac{d \psi(t)}{dt} + \frac{\partial f(\psi(t), \phi(t))}{\partial \phi(t)} \frac{d \phi(t)}{dt} \\
&= \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \frac{d \psi(t)}{dt} + \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \frac{d \phi(t)}{dt}
\end{align}
$$
ここで$\displaystyle \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}, \frac{d \psi(t)}{dt}, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}, \frac{d \phi(t)}{dt}$はそれぞれ下記のように計算できる。
$$
\large
\begin{align}
\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} &= \frac{\partial}{\partial x} (\log{(x^2+xy+y^2+1)}) \\
&= \frac{2x+y}{x^2+xy+y^2+1} \\
\frac{d \psi(t)}{dt} &= \frac{d}{dt}(e^{t} + e^{-t}) = e^{t} – e^{-t}
\end{align}
$$
$$
\large
\begin{align}
\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} &= \frac{\partial}{\partial y} (\log{(x^2+xy+y^2+1)}) \\
&= \frac{x+2y}{x^2+xy+y^2+1} \\
\frac{d \phi(t)}{dt} &= \frac{d}{dt}(e^{t} – e^{-t}) = e^{t} + e^{-t}
\end{align}
$$
ここで$2x+y, x+2y, x^2+xy+y^2+1$は$t$を用いて下記のように表せる。
$$
\large
\begin{align}
2x+y &= 2(e^{t}+e^{-t}) + (e^{t}-e^{-t}) \\
&= 3e^{t} + e^{-t} \\
x+2y &= 2(e^{t}+e^{-t}) – (e^{t}-e^{-t}) \\
&= 3e^{t} – e^{-t} \\
x^2+xy+y^2+1 &= (e^{t}+e^{-t})^{2} + (e^{t}+e^{-t})(e^{t}-e^{-t}) + (e^{t}-e^{-t})^{2} + 1 \\
&= e^{2t} + \cancel{2} + \cancel{e^{-2t}} + e^{2t} – \cancel{e^{-2t}} + e^{2t} – \cancel{2} + e^{-2t} + 1 \\
&= 3e^{2t} + e^{-2t} + 1
\end{align}
$$
よって、$g'(t)$は下記のように導出できる。
$$
\large
\begin{align}
g'(t) &= \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \frac{d \psi(t)}{dt} + \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \frac{d \phi(t)}{dt} \\
&= \frac{2x+y}{x^2+xy+y^2+1}(e^{t} – e^{-t}) + \frac{x+2y}{x^2+xy+y^2+1}(e^{t} + e^{-t}) \\
&= \frac{1}{3e^{2t} + e^{-2t} + 1} \left[ (3e^{t} + e^{-t})(e^{t} – e^{-t}) + (3e^{t} – e^{-t})(e^{t} + e^{-t}) \right] \\
&= \frac{1}{3e^{2t} + e^{-2t} + 1} \left( 3e^{2t} – e^{-2t} + 3 – 1 + 3e^{2t} – e^{-2t} + 3 – 1 \right) \\
&= \frac{6e^{2t} – 2e^{-2t}}{3e^{2t} + e^{-2t} + 1}
\end{align}
$$