微分や偏微分の演算を表すにあたって、微分作用素(differential operator)・偏微分作用素を用いると簡略的に表すことができます。微分作用素はベクトルでの微分を表す際などによく用いられるので、当記事では微分作用素の定義や使用例に関して取りまとめを行いました。
作成にあたっては「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の第$6$章「微分(多変数)」を主に参考にしました。
・数学まとめ
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微分作用素・偏微分作用素の定義
$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}$はそれぞれ関数に対して「微分・偏微分」の作用を施すものであることから微分作用素・偏微分作用素といわれる。よく用いられる微分作用素に下記のようなラプラス作用素がある。
$$
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\begin{align}
\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}
\end{align}
$$
上記は$2$変数のラプラス作用素である。このように微分作用素を定めることで演算の表記を簡略化することができる。
微分作用素・偏微分作用素の使用例
以下、「チャート式シリーズ 大学教養 微分積分」の例題の確認を行う。
基本例題$124$
$$
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\begin{align}
D &= a \frac{\partial}{\partial x} + b \frac{\partial}{\partial y} \\
a, b & \in \mathbb{R}
\end{align}
$$
上記のように定めた偏微分作用素$D$に関して下記がそれぞれ成立する。
・$(1)$
$$
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\begin{align}
D(x^2y^3) &= a \frac{\partial}{\partial x}(x^2y^3) + b \frac{\partial}{\partial y}(x^2y^3) \\
&= 2axy^3 + 3bx^2y^2
\end{align}
$$
・$(2)$
$$
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\begin{align}
D(\sin{(x^2+y^2)}) &= a \frac{\partial}{\partial x}(\sin{(x^2+y^2)}) + b \frac{\partial}{\partial y}(\sin{(x^2+y^2)}) \\
&= a \cos{(x^2+y^2)} \cdot 2x + b \cos{(x^2+y^2)} \cdot 2y \\
&= 2 (ax+by) \cos{(x^2+y^2)}
\end{align}
$$
・$(3)$
$$
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\begin{align}
D(e^{x+y}) &= a \frac{\partial}{\partial x}(e^{x+y}) + b \frac{\partial}{\partial y}(e^{x+y}) \\
&= a e^{x+y} + b e^{x+y} = (a+b) e^{x+y}
\end{align}
$$
基本例題$125$
重要例題$074$
$$
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\begin{align}
\Delta = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}
\end{align}
$$
上記のようにラプラス作用素$\Delta$を定義する。ここで$x=r\sin{\theta}, y=r\cos{\theta}$のように変数変換を行うとき、$\Delta$は下記のように表せる。
$$
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\begin{align}
\Delta = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial}{\partial \theta^2}
\end{align}
$$
以下では上記が成立することを示す。
$f(x,y)=f(r\cos{\theta},r\sin{\theta})=g(r,\theta)$とおく。このとき下記が成立する。
$$
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\begin{align}
\frac{\partial g}{\partial r} &= \frac{\partial f}{\partial x} \cos{\theta} + \frac{\partial f}{\partial y} \sin{\theta} \\
\frac{\partial g}{\partial \theta} &= -\frac{\partial f}{\partial x} r \sin{\theta} + \frac{\partial f}{\partial y} r \cos{\theta}
\end{align}
$$
また、下記も成立する。
$$
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\begin{align}
\frac{\partial^2 g}{\partial r^2} &= \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \cos^{2}{\theta} + 2 \frac{\partial f}{\partial x \partial y} \sin{\theta} \cos{\theta} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \sin^{2}{\theta} \\
\frac{\partial^2 g}{\partial \theta}^2 &= r^2 \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \sin^{2}{\theta} – 2 \frac{\partial f}{\partial x \partial y} \sin{\theta} \cos{\theta} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \cos^{2}{\theta} \right) – r \left( \frac{\partial f}{\partial x} \cos{\theta} + \frac{\partial f}{\partial y}\sin{\theta} \right)
\end{align}
$$
したがって下記が成立する。
$$
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\begin{align}
& \frac{\partial^2 g}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \cdot \frac{\partial g}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \cdot \frac{\partial g}{\partial \theta^2} \\
&= \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}
\end{align}
$$